Caos e Hipercaos: estudo da transição para caos e hipercaos em magnetoconvecção

De Francis Ferreira Franco

Este livro é resultado de uma tese de doutorado defendida no Instituto Tecnológico de Aeronáutica, a qual tinha como objetivo desenvolver um estudo sobre modelos matemáticos de magnetoconvecção, o estudo da interação entre convecção térmica e campos magnéticos. Campos magnéticos cósmicos são onipresentes em nosso universo e podem ser associados com movimentos turbulentos, os quais podem ser produzidos por convecção térmica, como no interior do Sol. A magnetoconvecção, inicialmente, teve como motivação a compreensão da dinâmica de campos magnéticos na fotosfera solar. A fotosfera é a superfície visível do Sol e apresenta várias granulações que correspondem ao topo das colunas convectivas de gás quente que se formam na região convectiva, abaixo da fotosfera, devido ao processo de convecção térmica. Convecção térmica em um fluido magnetizado pode ser observada em planetas e estrelas em diferentes formas. O problema de magnetoconvecção tem papel importante em plasmas de laboratório, plasmas espaciais, geofísica e astrofísica.

• Idioma: Português
• Editora: Editora Dialética
• Data de lançamento: 2 de jan. de 2023
• ISBN: 9786525262680

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1 INTRODUÇÃO

Campos magnéticos cósmicos podem ser associados com movimentos turbulentos, os quais podem ser produzidos por convecção térmica, como no interior do Sol. A magnetoconvecção, o estudo da interação entre convecção térmica e campos magnéticos, inicialmente teve como motivação a compreensão da dinâmica de campos magnéticos na fotosfera solar (PROCTOR; WEISS, 1982). A fotosfera é a superfície visível do Sol e apresenta várias granulações que correspondem ao topo das colunas convectivas de gás quente que se formam na região convectiva, abaixo da fotosfera, devido ao processo de convecção térmica. Tal processo é um dos responsáveis pelo transporte de energia de camadas mais internas do Sol para sua superfície. Na Figura 1.1-(a) é apresentado um esquema das camadas do Sol, desde o núcleo até a atmosfera solar. As partes mais internas do plasma solar são aquecidas pela radiação do núcleo e, consequentemente, se expandem e sobem para a superfície, onde perdem energia e se esfriam. Como resultado desse esfriamento, essas porções de plasma se tornam mais densas, voltando a descer (PRIEST, 1982), e por esse processo as granulações da fotosfera solar são formadas, como apresentado na Figura 1.1-(b). Convecção térmica em um fluido magnetizado pode ser observada em planetas e estrelas em diferentes formas. O problema de magnetoconvecção tem papel importante em plasmas de laboratório, plasmas espaciais, geofísica e astrofísica (MACEK; STRUMIK, 2010).

Na Figura 1.1-(a) a região mais interna, ou core (núcleo), se estende até aproximadamente 1/4 do raio solar (o raio do Sol é de rs = 696 340 km). É nesta região que as reações termonucleares acontecem. Na radiative zone (camada radiativa), a energia produzida no núcleo é transportada de dentro para fora por radiação. Após ≈ 70% do raio solar, a absorção de radiação se torna significativa. A partir deste ponto a transferência de energia se dá predominantemente por convecção, onde se inicia a convective zone (camada convectiva) (SILVA, 2006). O fenômeno de convecção é comumente observado na natureza e trata do transporte de massa por meio do movimento do fluido devido a uma diferença de densidade, que por sua vez é causada em virtude de uma diferença de temperatura no meio. Na Figura 1.2 é apresentado o perfil de temperatura do interior do Sol em função da distância radial, desde o centro até a superfície do Sol. A camada convectiva se inicia cerca de 200 000 km abaixo da fotosfera solar, no intervalo que cor responde a esta camada, o perfil de temperatura muda bruscamente. Entre a camada radiativa e a camada convectiva, tem-se uma fina camada¹ chamada de tacoclina. Nesta região o escoamento do fluido passa por uma mudança súbita de velocidade e acredita-se que esta variação súbita de velocidade no plasma seja responsável pela geração do campo magnético solar (SILVA, 2006).

FIGURA 1.1 – (a) esquema das camadas solar e de sua atmosfera. (b) ilustração da formação das granulações na fotosfera solar devido ao processo de convecção.

Fonte (a): http://www.ccvalg.pt/astronomia/sistema_solar/sol.htm Fonte (b): https://sites.ualberta.ca/~pogosyan/teaching/ASTRO_122/lect9/ lecture9.html

FIGURA 1.2 – Perfil de temperatura do interior do Sol em função da distância radial, iniciando do centro até a superfície (SILVA, 2006) (p. 31).

Um processo similar, de convecção térmica, também é observado no interior do nosso planeta. O planeta Terra tem um raio aproximado de 6400km e pode ser dividido em três camadas principais, a crosta, o manto e o núcleo, como apresentado na Figura 1.3. O núcleo está no centro da Terra e corresponde a quase um terço de toda massa terrestre, essa camada é dividida em núcleo interno e núcleo externo. O núcleo interno é sólido e composto por uma liga de ferro-níquel podendo chegar a temperaturas de cerca de 5780K. O núcleo externo está sob menos pressão que o núcleo interno, mas ainda sob elevada temperatura, como consequência encontra-se ferro e níquel no estado líquido. Adotando o sentido da superfície ao centro do planeta Terra, o núcleo externo se inicia em cerca de 2900km indo até cerca de 5100km, ponto que se inicia o núcleo interno. Neste intervalo a temperatura do fluido varia bruscamente tendo um δt ≈ 3000K. Assim como discutido para a zona convectiva do Sol, essa variação no perfil de temperatura resulta em processos de convecção térmica (MERRILL; MCELHINNY, 1983; DUTRA et. al., 2020). O campo magnético terrestre é gerado através de processos de convecção térmica que ocorrem no núcleo externo do planeta, onde um fluido condutor e de baixa viscosidade se encontra em movimento devido ao resfriamento do núcleo (MERRILL; MCELHINNY, 1983). Ligas metálicas de ferro e níquel são mais densas que o fluido, logo estas descem em direção ao centro da Terra, enquanto que materiais menos densos como o ferro, níquel e enxofre, sobem para regiões mais elevadas do núcleo externo (MCKENZIE et al., 1974; GUBBINS, 1991; CARDIN; OLSON, 1994). Na Terra, o movimento de placas tectônicas, terremotos e erupções de vulcões também possuem uma relação com a convecção térmica.

FIGURA 1.3 – Esquema das camadas da Terra.

Fonte: https://www.todamateria.com.br/camadas-da-terra/

O estudo de modelos convectivos apresenta grandes contribuições para o entendimento da dinâmica que ocorre no interior desses astros (GLATZMAIER; ROBERTS, 1995), assim como na compreensão da origem da turbulência (BOHR et al., 1998). Como os modelos de equações diferenciais nem sempre podem ser resolvidos analiticamente, é necessário o uso da solução numérica. A Física da Dinâmica Não-Linear emprega métodos já conhecidos e estudados para investigar fenômenos numericamente. Mesmo que sejam feitas aproximações, estes experimentos de cunho numérico vêm trazendo compreensões básicas da natureza dos problemas (VILLATE, 2007). Nos últimos anos a teoria de caos tem fornecido ferramentas poderosas para a interpretação Física de sistemas dinâmicos de baixa dimensão. Discussões quanto à Dinâmica caótica em modelos reduzidos de fluidos e plasma, como o modelo de Lorenz (LORENZ, 1963), equação de Schrödinger Não-linearderivativa (REMPEL et al., 2006), modelos de dínamo (WEISS et al., 1984; JONES et al., 1985), magnetoconvecção bidimensional com um campo horizontal (WEISS; PROCTOR, 2014; KNOBLOCH et al., 1992), etc., vêm se intensificando à medida que novas dinâmicas são identificadas.

Tomas Bohr (BOHR et al., 1998) ressalta a importância de se estudar modelos simplificados para a compreensão da origem da turbulência. Justificando o estudo destes modelos ao fato de que simulações numéricas diretas das equações de Navier-Stokes, ou outras equações diferenciais parciais que descrevem sistemas turbulentos (ex. equações de magnetohidrodinâmica), serem proibitivamente difíceis de serem resolvidas devido à grande variedade de escalas de comprimento relevantes nos casos de turbulência totalmente desenvolvida. Outro ponto relevante é, como um ponto de vista complementar que guia nossa descrição da turbulência, considerar a turbulência como uma manifestação do caos determinístico (BERGÉ et al., 1986; BOHR et al., 1998).

A convecção de Rayleigh-Bénard (RAYLEIGH, 1916) (CRB), uma versão idealizada da convecção térmica, é estudada para a compreensão de instabilidades modeladoras, caos e turbulência (PAUL et al., 2012). Esta instabilidade refere-se a um fluido contido entre duas placas horizontais separadas por uma altura h, onde a placa inferior apresenta uma temperatura maior que a temperatura da placa superior, gerando assim um gradiente de temperatura δT. O cenário Rayleigh-Bénard contém a mesma Física básica que ocorre em um sistema geofísico ou astrofísico natural, mas é muito mais simples de estudar, devido à geometria simplificada e às propriedades termodinâmicas envolvidas (HEPWORTH, 2014). A teoria linear da CRB foi amplamente discutida por Chandrasekhar (CHANDRA- SEKHAR, 1981), tanto na ausência quanto na presença de um campo magnético imposto. A análise não linear da Dinâmica caótica da convecção Rayleigh-Bénard usando modelos simplificados tem sido realizada desde o trabalho inovador de Lorenz do modelo reduzido tridimensional (LORENZ, 1963). Desde então, o modelo de Lorenz tem sido intensamente investigado para a teoria do caos devido à riqueza de sua Dinâmica (WU; CHEN, 2009). Vários autores apresentaram versões generalizadas do modelo de Lorenz em diferentes contextos (ver, por exemplo, Gómez-Mont et al. (GÓ MEZ-MONT et al., 2013), Moon et al. (MOON et al., 2019) e suas referências). Alguns dos modelos generalizados de Lorenz foram derivados com a intenção de incluir os efeitos de um campo magnético em um fluido condutor sob condições de CRB. Weiss et al. (WEISS et al., 1984) e Jones et al. (JONES et al., 1985) introduziram um modelo de dínamo não linear representado por um sistema generalizado de Lorenz com três variáveis complexas para estudar a atividade magnética nas estrelas. Knobloch (KNOBLOCH, 1986) derivou um modelo de quinta ordem de magnetoconvecção bidimensional com um campo horizontal imposto e condições de contorno periódicas que podem ser transformadas nas equações de Lorenz para certos limites dos parâmetros de controle (WEISS; PROCTOR, 2014; KNOBLOCH et al., 1992). Rypdal e Garcia (RYPDAL; GARCIA, 2007) desenvolveram um modelo de Lorenz para células de convecção de plasma em configurações de campo magnético toroidal, úteis para plasmas de laboratório.

Tendo conhecimento da importância do estudo deste modelo em várias áreas da Física, objetiva-se estudar o problema CRB por meio de simulações numérica s usando modelos, onde considera-se um fluido eletricamente condutor submetido a um gradiente de temperatura vertical na presença de um campo magnético imposto B0. Para isso, dois modelos foram usados no estudo, modelo reduzido e modelo 2D. O modelo reduzido foi apresentado por Macek e Strumik (MACEK; STRUMIK, 2010) e trata-se de um modelo de Lorenz generalizado. No modelo 2D, as equações não-lineares adimensionalizadas de magneto-convecção bidimensional de Boussinesq com condições de fronteira free slip foram usadas.

Nesta análise visamos investigar a Dinâmica do sistema ao se variar dois parâmetros de controle vinculados ao campo magnético de fundo B0 e ao gradiente de temperatura δT. Este estudo nos permitirá compreender como o sistema responde a variações nessas duas grandezas.

Este trabalho está organizado da seguinte maneira: o capítulo 2 apresenta a fundamentação teórica contendo uma introdução dos conceitos básicos de sistemas dinâmicos para sistemas dissipativos, necessários para compreensão dos resultados obtidos. No capítulo 3 a instabilidade Rayleigh-Bénard é discutida, as equações de magnetohidrodinâmica são introduzidas, e a dedução detalhada do modelo reduzido de magnetoconvecção é apresentada. No capítulo 4 são apresentados os resultados obtidos ao se investigar o modelo reduzido. No capítulo 5 é realizada uma discussão quanto aos parâmetros de adimensionalização para magnetoconvecção bidimensional de Boussinesq e as equações são apresentadas. No capítulo 6 são apresentados os resultados do modelo 2D. Por fim, no capítulo 7 a conclusão e uma breve discussão sobre trabalhos futuros são apresentadas.

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1 A espessura da camada tacoclina corresponde a menos de 1% do raio solar.

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA: SISTEMAS DINÂMICOS

2.1 INTRODUÇÃO

Um sistema dinâmico é um sistema que tem seus estados alterados com a evolução do tempo. Consiste em um conjunto de possíveis estados, junto à uma regra determinística que determina um presente estado usando um estado passado (ALLIGOOD et al., 1996). Como exemplo, um sistema dinâmico pode ser descrito por um conjunto de equações diferenciais ordinárias (EDOs) acopladas:

onde as variáveis y1, y2 e yN representam as variáveis de estado do sistema dinâmico, y1(t), y2(t) e yN (t) caracterizam o estado do sistema, o qual é definido pelos valores das variáveis de estado para um tempo t, e ae representa um conjunto de parâmetros de controle, que são responsáveis pela configuração da regra Dinâmica do sistema. Um conjunto de variáveis de estado, para um dado tempo t, representa um único ponto de um estado físico em um espaço denominado espaço de fase. Considerando um sistema dinâmico dissipativo, o espaço de fase é um espaço abstrato onde sua dimensão é dada pelo número de variáveis de estado do sistema dinâmico. No caso do sistema de EDOs dado como exemplo, N é a dimensão do espaço de fase. A evolução temporal de uma condição inicial y(t0) = y0 representada no espaço de fase é definida como trajetória, órbita ou fluxo. O comportamento de um fluxo pode ser dividido em dois estágios: um transiente inicial e um regime. O transiente inicial é uma