Números Complexos Com Aplicações Em Engenharia

De César Augusto Dartora E Armando Heilman

Este abrangente livro oferece uma introdução detalhada à Álgebra dos Números Complexos, abordando definições fundamentais, operações como adição, conjugação complexa, produtos e divisões, destacando a aplicação da Fórmula de Euler. Explorando também as Funções Harmônicas e sua Representação Complexa, discute translação de funções, derivadas, integrais e a equação do oscilador harmônico. O texto detalha a aplicação de fasores em Circuitos Elétricos, incluindo elementos, leis de Kirchhoff, circuitos RC e RL, função de transferência, e analogias entre sistemas. Na Ondulatória, deduz a Equação de Ondas, aborda ondas planas uniformes e sua relação com a Teoria da Relatividade Especial, analisando equações telegráficas e o efeito Doppler. A conclusão explora Espaços de Hilbert e Transformada de Fourier, revisando álgebra de matrizes, espaços de Hilbert, transformações de base, e a transformada de Fourier. A Análise Complexa e Aplicações encerra o livro, abordando integrais de caminho, teorema do resíduo, integrais de Cauchy, séries de Laurent e exemplos de funções de Green, tornando-o valioso para estudantes e profissionais em matemática, física e engenharia elétrica.

• Idioma: Português
• Editora: Clube de Autores
• Data de lançamento: 5 de dez. de 2023

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NÚMEROS COMPLEXOS COM APLICAÇÕES EM ENGENHARIA

Primeira Edição

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NOTA PARA ESTA EDIÇÃO

As figuras, quando não citado a fonte, são de autoria do próprio autor e pesqui- sador deste livro. Algumas imagens utilizadas neste livro foram obtidas a partir do uso do IDL, PowerPoint ou CorelDRAW X3. Imagens ou figuras que não são próprias do autor e pesquisador desta obra, foram retiradas de sites de acesso público (citado a fonte).

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Sobre os Autores

César Augusto Dartora

Graduação em Engenharia Elétrica com ênfase em Eletrônica pela Universidade de Passo Fundo (2000), mestrado em Engenharia Elétrica pela Universidade Estadual de Campinas (2002) e doutorado em Física pela Universidade Estadual de Campinas (2005). Professor/pesquisador no Departamento de Engenharia Elétrica da Universidade Federal do Paraná. Suas linhas de pesquisa possuem ên- fase na área de Física da Matéria Condensada e também em Óptica e Propagação de Ondas, atuando principalmente nos seguintes temas: Equações de Maxwell, Mecânica Quântica, Nanomagnetismo e Física Mesoscópica, Óptica e Teoria de Difração, Teoria Quântica de Campos.

Armando Heilmann

Graduação em Física (UFPR), mestrado em Ciências Atmosféricas (IAG/USP), doutorado em Ciências Geodésicas (Dinâmica Orbital-UFPR), pós-doutorado (Sis- tema Meteorológico do Paraná) em Processos Eletrostáticos e Eletromagnéticos de Descargas Atmosféricas Aplicados à Meteorologia (2012-2013), pós-doutorado em Eletricidade Atmosférica e Monitoramento de Campo Elétrico Quase-Estático Atmosférico Local (2013-2014) e, pós-doutorado em Eletricidade Atmosférica pela Universidade de São Paulo (AIG/USP). Membro da Electrostatics Society of America e integrante do CRT Wilson Institute for Atmospheric Electricity, pro- fessor do Departamento de Engenharia Elétrica - DELT/UFPR. Coordenador do grupo de Fenômenos da Eletricidade Atmosférica FEA/UFPR. Participa de projetos

P&D, colaborações internacionais com o INESC TEC (Portugal), Atmospheric

Electrodynamical Coupling - ACATMOS do projeto LEONA (Transient Luminous Event and Thunderstorm High Energy Emission Collaborative Network) - na América Latina. Áreas de pesquisa: Eletricidade Atmosférica, Processo de Eletrificação das Descargas Atmosféricas, Propagação de Ondas Eletromagnéticas, Detecção de Relâmpagos em "Low Frequencies, Short-Range", Perturbação Eletromagnética na Dinâmica Orbital de Satélites e Descargas Atmosféricas no Setor Elétrico.

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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Dartora, C. A., Heilmann, A., Números Complexos com Aplicações em Enge- nharia. 1 a. Edição, Editora Clube de Autores, Curitiba, 2023.

Título original: Números Complexos com Aplicações em Engenharia

ISBN 978-65-00-88210-0

Sumário

Sumário

i

1 Introdução 5

2 Álgebra dos Números Complexos 10

2.1 Definições Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Adição de Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 A Fórmula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 Conjugação Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5 Produtos de Números Complexos e Algumas Propriedades . . . . 16 2.6 Interpretação da Unidade Imaginária como Gerador de Rotações . 19

2.7 Divisão de Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.8 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Funções Harmônicas e sua Representação Complexa 26

3.1 Translação de Funções e Relação com a Fase . . . . . . . . . . . . 29

3.2 Derivadas e Integrais de Funções Harmônicas . . . . . . . . . . . 31

3.3 Equação do Oscilador Harmônico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.4 Valores Médios de Correlações e RMS de Funções Harmônicas . . 36

3.5 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4 Aplicações de Fasores em Circuitos Elétricos 43

4.1 Elementos de Circuitos Elétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.1.1 Leis de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2 Circuitos RC, RL e Parâmetros Experimentais . . . . . . . . . . . . 51

4.2.1 Circuitos RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2.2 Circuitos RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3 Função de Transferência, Impedância e Admitância . . . . . . . . 61

4.4 Analogias entre Sistemas Elétricos, Mecânicos e Térmicos . . . . . 63

4.5 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5 Aplicações de Fasores na Ondulatória 68

5.1 Dedução da Equação de Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.2 Ondas Planas Uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.2.1 Amplitude, Fase, Período Temporal e Comprimento de Onda 74 i

SUMÁRIO ii

5.2.2 A Equação de Ondas em 3+1 Dimensões . . . . . . . . . . 78

5.2.3 Solução de Onda Plana Uniforme em 3+1 Dimensões . . . 81

5.3 Equação de Onda e a Teoria da Relatividade Especial . . . . . . . 82

5.3.1 O Efeito Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.4 Equações Telegráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.4.1 Solução das Equações Telegráficas . . . . . . . . . . . . . . 88

5.4.2 Mapeamento Conforme e a Carta de Smith . . . . . . . . . 93

5.5 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6 Espaços de Hilbert e Transformada de Fourier 101

6.1 Delta de Dirac e Degrau de Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.2 Breve Revisão da Álgebra de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.3 Espaços de Hilbert, Bras e Kets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.3.1 Espaços de Hilbert de Dimensão Infinita e no Continuum . 115

6.4 Transformações de Base e Representação . . . . . . . . . . . . . . 117

6.5 A Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6.5.1 Teorema de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6.6 Propriedades de Transformadas de Fourier . . . . . . . . . . . . . 121

6.7 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

7 Análise Complexa e Aplicações 127

7.1 Integrais de Caminho e Teorema do Resíduo . . . . . . . . . . . . 128

7.1.1 Teorema de Cauchy-Goursat . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

7.1.2 Teorema do Resíduo de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 135

7.2 Integrais de Cauchy, Derivadas e Séries de Laurent . . . . . . . . 139

7.3 Teoria da Função Resposta e Relações de Kramers-Krönig . . . . . 141

7.4 Alguns Exemplos de Funções de Green . . . . . . . . . . . . . . . 147

7.4.1 Função de Green para Equação Diferencial de Primeira Ordem 148 7.4.2 Função de Green para Equação Diferencial de Segunda Ordem 150

7.4.3 A função de Green da Equação de Poisson . . . . . . . . . 152

7.4.4 A função de Green da Equação de Ondas . . . . . . . . . . 156

7.5 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

APÊNDICE I 163

APÊNDICE II 165

APÊNDICE III 167

APÊNDICE IV 168

APÊNDICE V 170

SUMÁRIO iii

APÊNDICE VI 171

APÊNDICE VII 173

APÊNDICE VIII 174

APÊNDICE IX 176

APÊNDICE X 177

APÊNDICE XI 179

APÊNDICE XII 181

APÊNDICE XIII 183

APÊNDICE XIV 185

P REFÁCIO

Pode-se afirmar, de modo seguro, que a tarefa fundamental da Física é compreen- der as leis que governam todos os fenômenos naturais, permitindo ao campo da engenharia a aplicação do conhecimento acumulado à solução de problemas prá- ticos, visando promover conforto e melhoria das condições de vida das pessoas na sociedade moderna, através de projetos de construção civil e saneamento, meios de transporte, desenvolvimento de dispositivos mecânicos, elétricos e eletrônicos, concepção de equipamentos para uso doméstico, na medicina, em aplicações militares e tantos outros sistemas.

Números complexos são usados em eletrônica e eletromagnetismo. Um único número complexo reúne duas quantidades reais, tornando os números mais fáceis de trabalhar. Por exemplo, em eletrônica, o estado de um elemento de circuito é definido pela tensão (V) e pela corrente (I). Os elementos do circuito também podem ter uma capacitância (c) e indutância (L) que descreve a tendência do circuito de resistir às mudanças em V e I. Em vez de descrever o estado do

elemento do circuito por V e I, ele pode ser descrito como z = V + Ii . As leis

da eletricidade podem então ser expressas usando a adição e multiplicação de números complexos.

Como mencionado antes, isso também pode ser aplicado ao eletromagnetismo. Em vez de ser descrito como intensidade do campo elétrico e intensidade do campo magnético, você pode criar um número complexo onde os componentes elétricos e magnéticos são os números reais e imaginários, de forma geral os números complexos são usados quando alguma quantidade tem uma fase e também uma magnitude.

Tal situação ocorre quando se trabalho com tensão e corrente oscilantes senoi- 1

SUMÁRIO 2

dais (outros exemplos em física incluem óptica, onde a interferência de onda é importante, e funções de onda na mecânica quântica).

O importante é perceber que não há nada imaginário sobre a fase de uma forma de onda de tensão e não há nada particularmente complexo em trabalhar com números complexos. Veja-os agora como uma ferramenta útil com a qual você pode começar a se acostumar.

Os números complexos como será abordado nesta obra, são equivalentes aos fasoresusados para esta finalidade em livros didáticos de física elementar. A vantagem de chamá-los de números complexos em vez de fasores é que você pode fazer uso da álgebra de números complexos.

Tensão e corrente são sempre quantidades reais e observáveis. Em um circuito linear (CA) com um estímulo senoidal, estes parâmetros físicos sempre terão uma forma de onda descrita como V (t) = Vocos(ωt +ϕ). As complexidades algébricas surgem quando introduzimos capacitores e indutores, que produzem mudanças ±90o em fase. De modo que, adicionar senos e cossenos com fases diferentes é algebricamente difícil, exigindo experiência com identidades trigonométricas. No entanto, se o circuito for descrito por equações diferenciais lineares,