Aplicação das wavelets de Daubechies em conjunto com o método de propagação vetorial de feixes na análise de estruturas fotônicas

De Paulo César Linhares da Silva

Este livro trata sobre a aplicação das wavelets de Daubechies em conjunto com o método de propagação vetorial de feixes na análise de estruturas fotônicas. A produção deste material foi fruto dos esforços despendidos durante a realização da minha tese de doutorado em engenharia elétrica na UFRN (Universidade Federal do Rio Grande do Norte), concluída em meados do ano de 2019. Na literatura científica, as wavelets de Daubechies são uma ferramenta numérica de grande aplicação em vários campos da ciência e tecnologia. O uso dessa ferramenta no estudo da propagação eletromagnética vem sendo utilizado por vários pesquisadores para modelar e construir dispositivos elétricos/eletrônicos. Deseja-se que este material seja um guia de ajuda para aqueles que usam técnicas numéricas para modelagem de problemas de ciências exatas e tecnológicas.

• Idioma: Português
• Editora: Editora Dialética
• Data de lançamento: 9 de set. de 2022
• ISBN: 9786525246680

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CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO

A comunicação desempenha um papel crucial na vida humana. Desde os primórdios, o homem tem a necessidade de aperfeiçoar os meios pelos quais se comunica. Na antiguidade, a forma de se comunicar exigia que houvesse deslocamento para se levar a mensagem de uma pessoa a outra. A carta, por exemplo, foi um meio encontrado para este fim e usada até hoje. Com o avanço de pesquisas sobre os meios de comunicação, sentiu-se a necessidade de se obter meios mais eficientes de se comunicar, inclusive, sem a necessidade de deslocamentos.

Diante deste contexto, surgiu a ideia de se utilizar a luz como meio de comunicação. Deste feito, surgiu o campo de estudo denominado Fotônica. Para que possa haver a transmissão de informações, a fotônica utiliza diversos tipos de dispositivos. Atualmente, os dispositivos fotônicos são utilizados em larga escala nos meios de comunicação ópticos, tais dispositivos fornecem, detectam e podem controlar a luz. Dentre os vários tipos de dispositivos ópticos, os acopladores ópticos e as fibras ópticas desempenham grande relevância, por serem meios que transferem e propagam, respectivamente, sinais com baixas perdas.

Atualmente, as redes ópticas tem sido um campo de pesquisa bastante promissor possibilitando o aumento das taxas de transmissão de sinais ópticos, já que o seu aprimoramento permite baixas perdas em amplas faixas de frequência o que contribui para avanços nas comunicações ópticas. A fim de que os sistemas de transmissão suportem elevadas faixas de frequência, as redes de comunicação totalmente ópticas estão sendo uma meta tecnológica para o futuro. Nesse caso, faz-se necessário o estudo e desenvolvimento de novos dispositivos ópticos que se adequem a aplicação em redes totalmente ópticas bem como em sistemas de comunicação de micro-ondas e ondas milimétricas. (SALEH and TEICH, 2007).

Tendo em vista as vantagens das redes ópticas, que têm se tornado uma tecnologia cada vez mais necessária no transporte de informações, propõe-se, neste trabalho, o uso de uma ferramenta matemática conhecida como wavelet de Daubechies, que aplicada em conjunto com o método da propagação vetorial de feixes(VBPM), é capaz de analisar com um alto grau de resolução a propagação de ondas eletromagnéticas em dispositivos ópticos. Neste caso, a proposta desta tese é desenvolver um formalismo matemático usando-se a wavelet de Daubechies para obter os coeficientes das matrizes elementares que conectam os elementos de discretização que formam o domínio matemático em análise. Uma vez obtida as matrizes conectividade, estas são transformadas em uma subrotina computacional que será aplicada em conjunto com a ferramenta computacional que implementa o VBPM para a análise da propagação em dispositivos ópticos.

Diante dessa problemática, elaborou-se a hipótese de que a propagação de sinais não apenas em dispositivos ópticos, mas também em dispositivos de micro-ondas e ondas milimétricas, podem ser numericamente analisadas com o auxílio das wavelets de Daubechies. Entretanto, neste trabalho as simulações foram realizadas considerando apenas dispositivos ópticos. Neste contexto, a principal vantagem do uso dessa ferramenta matemática é a possibilidade de analisar mais precisamente funções passíveis de serem representadas por wavelets, ao realizar mudança dos parâmetros de resolução e translação. Tais funções, quando possuem características peculiares como variações abruptas, descontinuidades e gradientes elevados, podem ser melhor analisadas usando-se uma base wavelet, por possibilitar a obtenção de informações com alto grau de resolução.

Com o intuito de cumprir o objetivo geral anteriormente descrito, são necessários os seguintes objetivos específicos:

• Encontrar a função geradora de momentos e gerar os coeficientes da base wavelet;

• Expressar funções matemáticas do tipo xk por meio de uma base wavelet de Daubechies;

• Calcular as integrais envolvendo as wavelets de Daubechies;

• Calcular as matrizes elementares para aplicação no modelo matemático que descreve o VBPM utilizando a base wavelet de Daubechies;

• Produzir uma subrotina computacional que implementa a nova matriz conectividade para aplicação no modelo computacional que implementa o VBPM.

• Aplicar os códigos conjuntos, subrotina desenvolvida e VBPM, na análise de dispositivos fotônicos.

A maior dificuldade no desenvolvimento deste trabalho foi a criação da função geradora de momentos, obtida em meio a uma ampla pesquisa literária, na qual pode se perceber não haver na literatura um procedimento matemático preciso para o cálculo dos momentos da função φ em relação ao monômio xk. Durante a realização desta pesquisa observamos que havia resultados numéricos que utilizavam a função geradora de momentos em simulações numéricas, mas esses procedimentos necessitavam de um formalismo matemático mais preciso.

Após extensas pesquisas bibliográficas, observou-se que alguns trabalhos concentraram esforços na modelagem e simulação, de maneira eficiente e precisa, para o estudo da propagação eletromagnética ao longo de guias de ondas ópticas, como nos trabalhos de SILVA et al. (2003), SILVA et al. (2011), GUIMARÃES et al. (2015). Em adição, o VBPM tem se configurado como uma eficiente ferramenta numérica usada para à análise da propagação em fibras ópticas. Neste método, a discretização do domínio computacional é feita por elementos triangulares que tem suas bases aproximadas por elementos lineares e quadráticos. Devido a essa característica foi possível utilizar a wavelet de Daubechies para obter uma nova base de aproximação. Neste caso, além da análise dos elementos lineares e quadráticos a wavelet de Daubechies permite à análise de elementos com ordem superior e até elementos curvilíneos.

A utilização de funções do tipo wavelets já vem sendo explorada na literatura há algumas décadas. Alguns desses trabalhos envolvem o estudo de wavelets em conjunto com métodos numéricos clássicos, como o método dos momentos e o das diferenças finitas. Um exemplo desse tipo de trabalho é o de MIKHAIL and GUANG (1999). Outros envolvem a solução de campos eletromagnéticos, envolvendo equações integrais como é o caso de ROBERT and WENG (1995). Há também estudos que utilizam o método das diferenças finitas, e outros que usam o FEM, para a solução das equações de Maxwell, como TAPAN and RAVIRAJ (1994), além de EMÍLIO et al. (1995). Dentre outros trabalhos que utilizam wavelets em conjunto com o FEM, pode-se destacar, o de XUEFENG et al. (2003), no qual é obtida uma base wavelet bidimensional a partir da função escala φ, BUTZER et al. (1994). As wavelets também podem ser aplicadas em problemas envolvendo o cálculo de integrais como em MALEKNEJAD et al. (2007). Na maioria das aplicações citadas anteriormente, as wavelets são geralmente utilizadas em conjunto com o método de Galerkin na solução de problemas envolvendo a otimização e aproximação para sistemas eletromecânicos. (FEDOROVA and ZEITLIN, 1998).

É importante destacar que, nas duas últimas décadas, o desenvolvimento de pesquisas envolvendo wavelets, em particular as de DAUBECHIES (1998), têm se caracterizado como uma ferramenta com vários recursos que podem ser explorados, a saber:

• Uso conjunto com o método de Galerkin em problemas envolvendo equações diferenciais, alguns desses trabalhos são BURGOS (2016b); SABINA