Transformações da Imagem: Isometrias, Semelhanças e Projetividades

De Sandra de Souza Melo

O livro Transformações da imagem – isometrias, semelhanças e projetividades aborda, de maneira simples e com imagens cotidianas do design, da arquitetura e das artes, a relação existente entre tais áreas presentes no nosso entorno com as transformações geométricas. Tal descortinar dessas relações permite que dificuldades particulares apresentadas na educação geométrica requeiram competências específicas por parte dos professores, competências que vão além dos puros saberes disciplinares, pois o ensino exige sempre um grande esforço de apropriação de conceitos e problemas para que possam ser devidamente transpostos na programação escolar, um olhar do cotidiano para a transposição de conteúdos, auxiliando numa aprendizagem significativa. O que o leitor tem em suas mãos é um livro de geometria que parece responder ao pedido de estudo da geometria elementar, necessário para um futuro professor, mas também atraente para pesquisadores das áreas do design, da arquitetura, das artes. Esta obra inova com uma relação dinâmica com o leitor ao inserir em seu texto QR Codes que levarão o mesmo leitor a desenhos dinâmicos executados no GeoGebra e disponíveis na página de internet do software. Tal possibilidade oportuniza a verificação das propriedades mantidas nas formas ilustradas no desenho por diferentes transformações geométricas. Desse modo, comprovam-se as propriedades dos invariantes de tais transformações. As figuras já criadas e prontas para serem exploradas estão disponíveis, mas, ao promover essa atividade, o leitor é gradualmente apresentado e familiarizado com esse tipo de representação gráfica, cujo potencial didático vem sendo estudado há anos e sugerido por pesquisas, que merecem encontrar uma forma de inserção na prática escolar. A disponibilidade de ambientes de geometria dinâmica muito refinados, como o GeoGebra, permite exercitar e desenvolver a intuição. Destacamos as transformações das curvas cônicas na homologia, em que se poderá verificar a transformação da circunferência em circunferência, em elipse, em parábola e em hipérbole. Ao final da jornada de leitura empreendida por você, leitor, esperamos com este material que você passe a ver no mundo real, que nos cerca, as transformações geométricas presentes na geração/concepção de imagens e/ou volumes, nas mais diversas atividades de produção humana.

• Idioma: Português
• Editora: Editora Appris
• Data de lançamento: 18 de mai. de 2023
• ISBN: 9786525041964

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Sumário

CAPA

1

TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS

1.1 Conceito de transformação

1.2 Notação

1.3 Transformação bijetora

1.4 Transformação identidade

1.5 Produto de transformações

1.6 Grupo de transformações

1.7 Invariante de um grupo de transformação

1.8 Classificação das geometrias segundo Felix Klein

2

TRANSFORMAÇÃO POR IGUALDADE OU ISOMETRIAS

2.1 Translação

2.2 Rotação

2.3 Rebatimento ou simetria axial

2.4 Antitranslação ou reflexão com deslizamento

2.5 Produto de congruências no plano

2.5.1 Produto de translação

2.5.2 Produto de rotação

2.5.3 Produto de equinversão

2.5.4 Produto de rotação por translação

2.5.5 Produto de simetrias

2.6 Isometrias no espaço

2.6.1 Congruências no espaço

2.6.2 Anticongruências no espaço

3

TRANSFORMAÇÃO POR SEMELHANÇA

3.1 Semelhança direta

3.1.1 Homotetia

3.1.2 Roto-homotetia

3.2 Semelhanças inversas

3.2.1 Anti-homotetia

3.3 Produto de semelhanças no plano

3.3.1 Produto de homotetia

4

TRANSFORMAÇÕES POR PROJETIVIDADE

4.1 Conceito de elemento impróprio

4.2 Dualidade

4.3 Regiões da reta e do plano

4.4 Razão dupla ou bi-razão

5

PROJETIVIDADE ENTRE FORMAS DE 1ª ESPÉCIE

5.1 Retas reversas

5.2 Retas coplanares

5.3 Retas sobrepostas

5.4 Reta de Steiner

5.5 Involução e propriedade polo-polar

5.6 Feixes não coplanares

5.7 Feixes coplanares

5.8 Feixes sobrepostos

5.9 Feixes sobreposto em involução e a propriedade polo-polar

5.10 Feixes de planos de eixos reversos

5.11 Feixe de planos de eixos coplanares

5.12 Feixe de planos de eixos coincidentes

6

PROJETIVIDADE ENTRE FORMAS DE 2ª ESPÉCIE

6.1 Homografia entre dois planos de pontos

6.2 Teorema de Desargues

6.3 Eixos de fuga e eixo do desvanecimento – retas limites

6.4 Casos particulares da homologia

6.5 Homologia de planos sobrepostos

6.6 Eixos de fuga e do desvanecimento – retas limites

6.7 Constante de homologia

6.8 Imagens pré-dimensionadas

6.8.1 Caso de paralelismo

6.8.2 Caso de ângulos

6.8.3 Caso de dimensão linear

6.8.4 Transformação homológica da circunferência

6.9 Transformação projetiva entre espaços de pontos ou espaços de planos

6.9.1 Homologia espacial

6.9.2 Casos especiais

6.9.3 Homologias espaciais degeneradas

7

PROJETIVIDADES NO SISTEMA CÔNICO

7.1 Sistema orto-cônico

7.2 Cavaleira cônica

7.3 Método das três escalas

7.4 Sistema cônico de duas fugas (visuais dominantes)

7.5 Dois pontos de fuga (geometria gráfica tridimensional)

7.6 Método dos pontos medidores

7.7 Sistema cônico de três pontos de fuga

7.8 Três pontos de fuga (geometria gráfica tridimensional)

7.9 Perspectiva de uma figura e da sombra da mesma figura

7.10 Sombra

7.10.1 Retas perpendiculares ao plano horizontal

7.10.2 Retas paralelas ao plano horizontal

7.10.3 Retas inclinadas em relação ao plano horizontal

7.10.4 Retas paralelas ao quadro e ao plano horizontal

7.11 Traçado único para a perspectiva

REFERÊNCIAS

SOBRE A AUTORA

SOBRE A OBRA

CONTRACAPA

Transformações da imagem

isometrias, semelhanças e projetividades

Editora Appris Ltda.

1.ª Edição - Copyright© 2023 dos autores

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Nenhuma parte desta obra poderá ser utilizada indevidamente, sem estar de acordo com a Lei nº 9.610/98. Se incorreções forem encontradas, serão de exclusiva responsabilidade de seus organizadores. Foi realizado o Depósito Legal na Fundação Biblioteca Nacional, de acordo com as Leis nos 10.994, de 14/12/2004, e 12.192, de 14/01/2010.

Catalogação na Fonte

Elaborado por: Josefina A. S. Guedes

Bibliotecária CRB 9/870

Livro de acordo com a normalização técnica da ABNT

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Curitiba/PR – CEP: 80810-002

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Printed in Brazil

Impresso no Brasil

Sandra de Souza Melo

Transformações da imagem

isometrias, semelhanças e projetividades

Dedico este trabalho, primeiro, à minha mãe, Eulina Gama (in memoriam), pelo apoio que ela sempre deu aos meus estudos e à escrita de material concernente à minha área de trabalho, sendo uma entusiasta incentivadora de minha trajetória acadêmica desde a escola até a pós-graduação.

Em seguida, a minha dedicação vai para o meu pai, Mário Melo, que permitiu que suas três filhas realizassem seus estudos até a universidade com o aporte financeiro necessário a cada nível escolar, tarefa gigantesca para um policial militar.

PREFÁCIO

É inegável que as imagens, nas mais diversas formas e naturezas, têm um papel fundamental para o pensamento e, em geral, para a atividade intelectual do homem. É precisamente na procura de uma solução para um problema que se utilizam frequentemente imagens, por exemplo, desenhos produzidos numa folha de papel. Assim, por exemplo, Polya intervém no início de um parágrafo dedicado às figuras da geometria, em seu livro Como resolver problemas em matemática:

As figuras constituem não apenas a base dos problemas de geometria sintética, mas também um elemento auxiliar fundamental em qualquer problema, não necessariamente geométrico. Portanto, há duas boas razões para apreciar o papel das figuras na solução de problemas. (Polya, 1967, p. 111).

De forma totalmente coerente com o que afirma Polya, o papel particular atribuído à geometria é efetivamente esclarecido nas primeiras páginas de Il saper vedere in matematica: "Qualquer resultado matemático é geralmente mais claro, ou mesmo se torna efetivamente intuitivo, representando-o geometricamente de forma adequada" (de Finetti, 1967, p. 4, grifo no original).

A afirmação, que pode ser facilmente compartilhada por um matemático, assume particular interesse se pensarmos nos estudos que, ao longo dos anos, tentaram esclarecer como o pensamento usa as imagens e, em particular, como no caso da matemática, é justamente a geometria dessas imagens que faz sua contribuição particularmente eficaz. Gostaria de recordar, com De Finetti, as palavras de outro matemático.

A geometria (geometria euclidiana elementar) ocupa uma posição específica entre os outros ramos da matemática e entre todas as outras disciplinas pelo seu caráter único que consiste na união da lógica, da imaginação e da prática. [...] Em tudo isso está a importância de ministrar a geometria em todas as escolas [...]. (Alexandrov, 1994, p. 365).

Na verdade, a frase pode parecer simples e completamente evidente aos ouvidos de um matemático, mas, assim que nos questionamos sobre o problema de esclarecer o que significa representar geometricamente, e o que significa produzir tal representação, percebemos que a tarefa é complexa. O processo de representação geométrica, tal como De Finetti pretendia e justificadamente insistia, requer conhecimentos matemáticos e aptidões específicas que variam muito de problema para problema, e são difíceis de descrever. Daí a importância de reconhecer o papel