Cálculo I

De Orlando Frizanco

Com a evolução dos cursos superiores que buscam formar um profissional multifuncional e capaz de atender a demanda por profissionais qualificados no mundo do trabalho, muitas graduações têm, na formação básica do profissional a disciplina Matemática Aplicada e/ou Cálculo, o que propicia um conhecimento adicional que irá apoiar o futuro formado no desenvolvimento de suas habilidades e capacidades. Em cursos da área das engenharias, uma das disciplinas que se estendem ao longo dos semestres é o CÁLCULO I, II, III, ... Assim, o autor tomou o cuidado de expor nesta obra os assuntos de modo claro e simples, voltados para o CÁLCULO I e suas aplicações, facilitando o estudo e o aprendizado. Os fundamentos, suas propriedades, a metodologia e as aplicações, são apresentadas de maneira clara e simples, reforçadas com exercícios. facilitando o aprendizado da teoria e suas aplicações. Na solução de muitos exercícios exemplos também mostra o uso de ferramentas de software para cálculo matemático e de gráficos, motivando o acadêmico a utilizar estas facilidades.

• Idioma: Português
• Editora: Clube de Autores
• Data de lançamento: 16 de jan. de 2016

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Cálculo I – Fundamentos e Aplicações

Orlando Frizanco

CÁLCULO I

– FUNDAMENTOS E APLICAÇÕES -

Volume I

Curitiba

Orlando Frizanco

2016

- i -

Orlando Frizanco

Cálculo I – Fundamentos e Aplicações

Direitos reservados ao Autor.

© Copyright 2016 do Autor.

Trechos desta publicação podem ser reproduzidos, desde que citada a fonte. A

reprodução completa não poderá ser efetuada de qualquer modo ou por qualquer

meio, seja eletrônico, mecânico, de fotocópia, de gravação, ou outros, sem prévia

autorização por escrito do Autor.

Dados internacionais de catalogação-na-publicação (CIP).

Frizanco, Orlando.

Cálculo I : Fundamentos e Aplicações - Volume I. 1ª

Edição / Orlando Frizanco. - Curitiba/PR: O. Frizanco,

2016.

321 p.: il.: 21cm.

ISBN: 978-85-60934-05-8

1 – Matemática. 2 - Matemática Aplicada. 3 – Cálculo. 4

– Limites. 5 - Matrizes e Determinantes. 6 - Sistemas

Lineares. 7 – Derivadas. 8 – Integral.

I. Título.

CDD (21a ed.) 510.

IMPRESSO NO BRASIL / PRINTED IN BRAZIL

Endereço do Autor : Orlando Frizanco

Rua da Capitania, 44

Bairro Guabirotuba, CEP 81.520-590

Curitiba – Paraná - Brasil

e-mail: [e-mail]

Fone: (0xx41) 3296-7631

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Orlando Frizanco

Cálculo I – Fundamentos e Aplicações

Esta obra teve

INCENTIVO E APOIO CIENTÍFICO, CULTURAL E TÉCNICO

da

ESCOLA TECNOLÓGICA DE CURITIBA LTDA.

Mantenedora da

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Orlando Frizanco

Cálculo I – Fundamentos e Aplicações

O livro da natureza foi escrito exclusivamente com figuras e

símbolos matemáticos. (Galileu)

- iv -

Orlando Frizanco

Cálculo I – Fundamentos e Aplicações

Agradecimentos

À todos aqueles que, direta ou indiretamente,

apoiaram e incentivaram a elaboração dessa obra.

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Orlando Frizanco

Cálculo I – Fundamentos e Aplicações

SUMÁRIO

Apresentação ...................................................................... 11

INTRODUÇÃO ..................................................................... 13

CONCEITOS HISTÓRICOS DO CÁLCULO ......................... 15

REVISÃO PRÉ-CÁLCULO ................................................... 23

1 OPERAÇÕES ALGÉBRICAS COM NÚMEROS DECIMAIS

....................................................................................... 24

1.1 ADIÇÃO .......................................................................... 24

1.2 SUBTRAÇÃO .................................................................. 25

1.3 MULTIPLICAÇÃO ........................................................... 26

1.4 DIVISÃO ......................................................................... 27

1.5 VALOR ABSOLUTO OU MÓDULO ................................. 28

1.6 OPERAÇÕES ALGÉBRICAS .......................................... 29

1.6.1 Soma e Subtração Algébrica ........................................ 30

1.6.2 Multiplicação e Divisão Algébrica ................................. 30

1.6.3 Expressões Numéricas ................................................ 31

1.7 DECOMPOSIÇÃO DE UM NÚMERO EM UM PRODUTO

DE FATORES PRIMOS ................................................. 33

1.7.1 Mínimo Múltiplo Comum (m.m.c) .................................. 34

1.7.2 Máximo Divisor Comum (m.d.c.) .................................. 36

2 POTENCIAÇÃO ................................................................ 38

3 RADICAIS ......................................................................... 46

4 RAZÕES E PROPORÇÕES .............................................. 53

4.1 PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES 53

4.2 GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS ......... 54

4.3 GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS ...... 55

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Orlando Frizanco

Cálculo I – Fundamentos e Aplicações

5 REGRA DE TRÊS SIMPLES ............................................. 58

6 REGRA DE TRÊS COMPOSTA ........................................ 63

7 JUROS .............................................................................. 69

7.1 JUROS SIMPLES ........................................................... 69

7.2 JUROS COMPOSTOS .................................................... 73

8 EXPRESSÕES ALGÉBRICAS ........................................... 80

8.1 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS ............................................ 80

8.2 OPERAÇÕES ALGÉBRICAS .......................................... 80

8.2.1 Soma algébrica ............................................................ 80

8.2.2 Multiplicação algébrica ................................................. 81

8.2.3 Divisão Algébrica ......................................................... 81

8.2.4 Produtos Notáveis ........................................................ 82

8.2.5 Fatoração Algébrica ..................................................... 86

CÁLCULO – OBJETOS FUNDAMENTAIS .......................... 88

9 FUNÇÕES ......................................................................... 89

9.1 FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL ...................... 90

9.2 REPRESENTAÇÃO DE FUNÇÕES ................................ 92

9.3 EQUAÇÕES DO 1º GRAU .............................................. 93

9.3.1 Resolução de Equação do 1º Grau com uma incógnita 94

9.3.2 Resolução de Problemas do 1º Grau ........................... 98

9.3.3 Sistemas de Equação do 1º Grau com duas incógnitas ...

..................................................................................... 101

9.3.4 Resolução de Problemas com Sistemas de Equações do

9.4 EQUAÇÕES DO 2º GRAU ........................................... 111

9.4.1 Solução de Equações de 2º Grau Incompleta ............ 111

9.4.2 Solução de Equações de 2º Grau Completa .............. 113

9.4.3 Resolução de Problemas com Equações do 2º Grau . 116

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Orlando Frizanco

Cálculo I – Fundamentos e Aplicações

10 LOGARITMOS ............................................................... 121

10.1 LOGARITMO COMO EXPOENTE .............................. 121

10.2 PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS ..

..................................................................................... 123

10.3 APLICAÇÕES DE LOGARITMOS ............................... 130

11 MATRIZES E DETERMINANTES .................................. 136

11.1 MATRIZES – CONCEITOS BÁSICOS ........................ 136

11.2 MATRIZES EQUIVALENTES ...................................... 140

11.3 TIPOS DE MATRIZES ................................................ 140

11.4 OPERAÇÕES COM MATRIZES ................................. 145

11.4.1 Adição ...................................................................... 145

11.4.2 Multiplicação por escalar .......................................... 148

11.5 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES .............................. 150

11.5.1 Propriedades do Produto de Matrizes ..................... 151

11.6 MATRIZ TRANSPOSTA.............................................. 152

11.6.1 Propriedades da Matriz Transposta ......................... 152

12 DETERMINANTES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES

LINEARES ................................................................... 156

12.1 DETERMINANTES ..................................................... 156

12.2 CÁLCULO DO DETERMINANTE ................................ 156

13 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES ....................... 162

14 LIMITES ......................................................................... 171

14.1 LIMITE DE UMA SEQUÊNCIA .................................... 171

14.2 LIMITES LATERAIS .................................................... 173

14.3 LIMITES INDETERMINADOS ..................................... 175

14.4 LIMITES DE FUNÇÕES QUANDO X SE APROXIMA DO

INFINITO ................................................................... 179

- viii -

Orlando Frizanco

Cálculo I – Fundamentos e Aplicações

14.5 OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS SOBRE LIMITES .... 180

14.6 IGUALDADES SIMBÓLICAS NAS OPERAÇÕES COM

LIMITES ..................................................................... 181

14.7 LIMITES E CONTINUIDADE ....................................... 185

14.8 APLICAÇÕES DE LIMITES ........................................ 188

15 DERIVADAS .................................................................. 190

15.1 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO ............ 191

15.2 DERIVADA DE FUNÇÕES SIMPLES ........................ 201

15.3 DERIVADA DE OPERAÇÕES COM FUNÇÕES ........ 203

15.3.1 Derivada da Soma de Funções ................................ 204

15.3.2 Derivada do Inverso de uma Função ........................ 205

15.3.3 Derivada do Produto de Duas Funções .................... 206

15.3.4 Derivada do Quociente de Duas Funções ................ 208

15.3.5 Derivada da Potência de uma Função ..................... 210

15.3.6 Derivada da Raiz de uma Função ............................ 211

15.4 REGRA DE L'HÔSPITAL ............................................ 214

15.5 DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR ........................ 217

15.6 APLICAÇÕES DE DERIVADAS .................................. 219

15.6.1 Taxa de variação num ponto da função ................... 219

15.6.2 Cálculo de Máximos e Mínimos de Funções ............ 226

16 TEOREMA DO VALOR MÉDIO .................................... 234

17 CÁLCULO INTEGRAL ................................................. 246

17.1 PARA QUE SERVE O CÁLCULO INTEGRAL E

DIFERENCIAL ........................................................... 247

17.2 SIMBOLOGIA DO CÁLCULO INTEGRAL ................... 247

17.3 DEFINIÇÃO DE INTEGRAL INDEFINIDA ................... 248

17.3.1 Integrais Imediatas ................................................... 249

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Orlando Frizanco

Cálculo I – Fundamentos e Aplicações

17.3.2 Integrais Imediatas (funções) ................................... 254

17.4 INTEGRAIS DEFINIDAS EM UM INTERVALO ........... 257

17.4.1 Cálculo de uma Integral Definida em um Intervalo ... 258

17.4.2 Cálculo de Áreas e Volumes usando Integral Definida ...

..................................................................................... 260

17.5 TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO .................................... 266

17.5.1 Integração por Substituição de Variáveis ................. 266

17.5.1 Integração por Partes ............................................... 271

17.5.2 Integração por Substituição Trigonométrica ............. 280

17.6 INTEGRAL - APLICAÇÕES ........................................ 290

17.7 INTEGRAL – VOLUMES DE SÓLIDOS DE

REVOLUÇÃO. ........................................................... 298

17.8 INTEGRAIS MÚLTIPLAS ............................................ 303

17.8.1 Definição de Integral Múltipla ................................... 304

FINALIZANDO ................................................................... 310

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA ........................................ 311

- x -

Orlando Frizanco

Cálculo I – Fundamentos e Aplicações

Apresentação

Esse livro é uma edição expandida da obra

Matemática Básica Aplicada à Cursos de Graduação, do

mesmo autor, reforçando os conteúdos do cálculo

diferencial e integral, de forma a expandir o uso para

cursos da área das ciências exatas.

Foi escrito para complementar o ensino e o

aprendizado dos fundamentos e aplicações nos

conteúdos da disciplina de CÁLCULO I, para auxiliar no

entendimento do assunto.

Com a evolução dos cursos superiores que

buscam formar um profissional multifuncional e capaz de

atender a demanda por profissionais qualificados no

mundo do trabalho, muitas graduações têm, na formação

básica do profissional a disciplina Matemática Aplicada

e/ou Cálculo, ou disciplinas afins, para propiciar um

conhecimento que irá apoiar o futuro formado no

desenvolvimento de suas habilidades e capacidades.

Acompanhando

esta

evolução,

renomados

autores e professores têm escrito livros específicos para

facilitar o ensino da matemática em cursos da área de

ciências humanas, ciências sociais aplicadas e,

principalmente aos voltados para as áreas de

tecnologias, engenharias, e informática.

O ensino da matemática, assim como o de outras

disciplinas que envolvem cálculos, tem causado

preocupação em muitos acadêmicos, principalmente aos

que estudam em áreas de outras ciências.

Em cursos da área de engenharias, uma das

disciplinas que se estendem ao longo dos semestres é o

CÁLCULO I, II, III, ... Assim, o autor tomou o cuidado de

expôr nesta obra os assuntos de modo claro e simples,

voltados para o CÁLCULO I e suas aplicações, de modo

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Orlando Frizanco

Cálculo I – Fundamentos e Aplicações

a facilitar o estudo e o aprendizado.

Para

preparar

profissionais

capacitados

à

desempenhar bem as atividades que envolvam o cálculo

é preciso ensinar os conceitos e suas propriedades, a

metodologia e as aplicações, ou seja, simplificando, é

preciso conhecer a teoria e a prática.

Conhecer fundamentos de informática, para uso

de ferramentas básicas, tais como planilhas eletrônicas e

ferramentas de cálculo matemático e de gráficos é

importante, ainda mais na área das engenharias. Nesta

linha, o autor procurou apresentar as soluções dos

exercícios, tanto na forma convencional, quanto

utilizando softwares específicos e convenientes à cada

situação problema, pois o acesso à internet permite

explorar e disponibilizar materais e ferramentas de apoio

gratuítas ou pagas, representando um diferencial

importante

para

fortalecer

o

conhecimento

do

profissional.

O autor.

- 12 -

Orlando Frizanco

Cálculo I – Fundamentos e Aplicações

INTRODUÇÃO

Tendo por objetivo desenvolver um livro que

apoie e facilite o ensino da matemática aplicada, mais

especificamente ao CÁLCULO I nas áreas das

engenharias, o conteúdo foi organizado de modo que

possibilite ao estudante conhecer e adquirir habilidades

fundamentais, que facilitem o entendimento e a aplicação

dos conceitos do cálculo, tanto nas disciplinas afins do

curso, quanto em sua vida profissional.

O programa da obra está proposto para

disciplinas inseridas nos períodos / semestres iniciais

dos cursos de graduação (notadamente as engenharias)

e foi programado de modo a apresentar a teoria com a

simbologia simples e mais conhecida, seguida de

exercícios

resolvidos,

que

são

desenvolvidos

inicialmente de modo manual e, posteriormente, alguns

deles, com o uso de programas de software específicos

para cálculos matemáticos em computador. Em seguida

são propostos exercícios similares aos resolvidos, para

que o aluno pratique o que foi ensinado. Alguns

exercícios são mais desafiadores para que sejam

aprofundos os conceitos abordados.

Dentre os programas de computador utilizados,

para mostrar exemplos de exercícios resolvidos ao longo

do livro, citam-se o SCILAB®, o GEOGEBRA®, o

CALCULUS SOLVED® e outros. Todos estes programas

são gratuitos e podem ser obtidos na Internet. Existem

versões gratuitas e bem documentadas para ambiente

Windows®, Mac® e Linux® e outros.

Existem milhares de programas para cálculos

matemáticos disponíveis gratuitamente na Internet. O

professor e os acadêmicos podem escolher e utilizar

aqueles que mais forem de seu agrado.

- 13 -

Orlando Frizanco

Cálculo I – Fundamentos e Aplicações

É importante que o acadêmico aprenda a fazer

os cálculos e gráficos, usando lápis, borracha, régua,

papel e calculadora, para melhor entender os conceitos

do que está aprendendo. Desta maneira, fica muito mais

fácil compreender como os programas informatizados

procedem para efetuar os cálculos.

O profissional sempre poderá ter à disposição

ferramentas de software para fazer os cálculos

matemáticos, porém é importante que conheça os

conceitos teóricos e práticos para fazer a melhor escolha

e o melhor uso dos comandos de cada programa.

Neste volume I, que aborda temas referentes ao

CÁLCULO I, os assuntos são apresentados em uma

sequência, a mais natural possível onde o conhecimento

vai sendo sedimentado de modo gradativo.

Desta maneira, busca-se mostrar um caminho no

qual o acadêmico poderá prosseguir de modo mais

confortável no aperfeiçoamento dos conhecimentos, sem

deixar de aprofundar-se com outras referências da área.

A obra apresenta um material que serve como

introdução aos conceitos do cálculo matemático,

adequando-se às necessidades dos alunos de cursos de

graduação superior.

Os tópicos abordados fazem parte de um grupo

de conhecimentos matemáticos necessários para que o

acadêmico cresça no curso que está fazendo.

As

definições

teóricas

e

práticas

são

apresentadas de modo claro e objetivo, seguido de

exemplos e exercícios para fixação.

É preciso sempre lembrar que a matemática,

segundo os maiores e renomados autores, se aprende

fazendo exercícios e não apenas lendo e observando

como se faz.

- 14 -

Orlando Frizanco

Cálculo I – Fundamentos e Aplicações

CONCEITOS HISTÓRICOS DO CÁLCULO

O estudo do cálculo trata de variação e de

movimento, e de quantidades que tendem a outras

quantidades. Sobre isto pode facilitar expor uma visão

geral do assunto antes iniciar o estudo mais

aprofundado.

O conceito de limites é fundamental para o

cálculo, pois possibilitaram resolver diversos problemas e

deram origem às derivadas, diferenciais e integrais.

Cálculo de áreas

Na Grécia antiga usava-se um método para

calcular áreas de polígonos, usando a somatória de

áreas de triângulos, como mostrado a seguir.

A área total é dada por:

Área  Área  Área  Área  Área  Área  Área

1

2

3

4

5

6

No caso de curvas, como um círculo, por

exemplo, o cálculo da área era feito calculando a área do

poligono de n lados inscrito. Como mostra a figura,

- 15 -

Orlando Frizanco

Cálculo I – Fundamentos e Aplicações

quanto maior o número de lados do polígono inscrito, a

área do mesmo se aproxima mais da área do círculo.

Ou seja, quando o número n de lados do

polígono inscrito no círculo se aproxima do infinito, a

área do poligono se aproxima mais da área do círculo.

Área _ círculo  Li (

m Área _ do _ polígon _

o de _ n _ lado )

s

n





A área do círculo é o limite da área dos poligonos

inscritos e pode ser escrito assim:

A  lim A

n

n

Para calcular a área em uma região sob uma

curva e o eixo dos x, como a mostrada na figura a seguir,

pode-se usar a ideia de somar as áreas de retangulos

construidos abaixo da curva e, quanto maior a

quantidade de retângulos (retangulos mais estreitos),

mais a área se aproxima da área real sob a curva.

- 16 -

Orlando Frizanco

Cálculo I – Fundamentos e Aplicações

Esta técnica de cálculo para áreas também

possibilita o cálculo de volumes, sólidos de revolução, o

comprimento de um arco, a força da água sobre uma

represa, trabalho para bombear áqua, etc.

Determinação da tangente em um ponto da curva

Considerando o problema de determinar a reta

tangente t a uma curva com equação y = f (x), em um

dado ponto P.

Sabendo que a tangente é a reta que toca a

curva em P e é lógico que P é um ponto sobre a reta

tangente. Para encontrar a equação de t, é preciso

conhecer a inclinação m da tangente.

- 17 -

Orlando Frizanco

Cálculo I – Fundamentos e Aplicações

y

t

y= f(x)

P

0

x

O problema é que, para calcular a inclinação, é

necessário conhecer dois pontos, mas sobre t, há

apenas o ponto P. Assim, uma alternativa é determinar

primeiro uma aproximação para m, tomando sobre a

curva um ponto próximo Q e calculando a inclinação mPQ

da reta secante PQ, mostrada na figura a seguir.

y

Q (x, f(x))

f(x) - f(a)

P (a, f(a))

x - a

0

a

x

x

Considerando que a tangente no triangulo

retângulo é igual ao cateto oposto sobre o cateto

adjacente e isto é a inclinação da tangente, tem-se:

f ( x)  f ( a

m 

)

x  a

- 18 -

Orlando Frizanco

Cálculo I – Fundamentos e Aplicações

Quando o ponto Q se move na curva em direção

a P, a reta secante se aproxima da tangente como sua

posição limite. Isto significa que a inclinação que a

inclinação mPQ da reta secante fica cada vez mais

próxima da inclinação m da reta tangente. Então:

m  lim m

PQ

Q P

Verifica-se que, quando Q tende a P, x tende a

a, assim pode-se escrever que:

f ( x)  f ( a)

m  lim

x a

x  a

Este problema da tangente deu origem à parte

do cálculo denominado Cálculo Diferencial.

Aplicação no Cálculo na Velocidade

Supondo que, verificando o movimento de um

carro, em uma estrada reta e medindo a distância

percorrida a cada 3 segundos, em metros, obtém-se a

tabela a seguir.

t=tempo em segundos

0

3

6

9

12

15

d=distância em metros

0

10

25

60

100

150

Para encontrar a velocidade após 9 segundos,

por exemplo, calcula-se a velocidade média no intervalo

de tempo 6 ≤ t ≤ 15, logo:

distância _ percorrida

velocidade _ média 

tempo _ decorrido

- 19 -

Orlando Frizanco

Cálculo I – Fundamentos e Aplicações

150  60

velocidad _

e média 

15  6

90

velocidade _ média 



m

0

,

9

/ s

9

Da mesma forma, a velocidade média no

intervalo de tempo 6 ≤ t ≤ 9 será:

60  25

35

velocidad _

e média 





67

,

11

9  6

3

Considerando que a velocidade no instante t = 6

segundos, não é muito diferente da velocidade média

durante um pequeno intervalo de tempo que começa em

t = 6 segundos. Então para intervalos de 0,2 segundos

pode-se ter uma tabela como a mostrada a seguir.

t=tempo em segundos

6,0

6,2

6,4

6,6

6,8

7,0

d=distância em metros

25,00

26,5

28.2

30,0

32,2

34,8

Calculando a velocidade média no intervalo de

tempo [6, 7], em cada 0,2 segundos, vem:

8

,

34 

0

,

25

8

,

9

velocidade _ média 





m

80

,

9

/ s

7  6

1

4

,

32 

0

,

25

4

,

7

velocidade _ média 





m

25

,

9

/ s

8

,

6  0

,

6

8

,

0

0

,

30 

0

,

25

0

,

5

velocidade _ média 





m

33

,

8

/ s

6

,

6  6

6

,

0

2

,

28 

0

,

25

2

,

3

velocidade _ média 





m

00