Gravitação e Cosmologia: Tópicos Revisitados
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Sobre este e-book
A experiência sugere conceitos matemáticos apropriados, mas eles não necessariamente deduzir-se-ão dela; o princípio criativo reside na matemática. Num certo sentido eu julgo verdadeiro que o pensamento puro pode compreender a realidade como os antigos sonharam (EINSTEIN, 1921).
Manoel Borges é professor Titular da UNESP (Universidade Estadual Paulista) desde 2007. Possui graduação em Física pela Universidade de Brasília (1978 , é Doutorado em Matemática pelo "King's College- University of London" (1986) e pós-doutorado pelo "Department of Mathematics and Applied Mathematics, University of Cape Town (UCT), Cape Town, South Africa" (1999,2000). Atualmente é "ordinary member - International Association of Mathematical Physics (IAMP)", "member and reviewer - American Mathematical Society (AMS)", "member of European Society of Computational Methods in Sciences and Engineering (ESCMSE)", Atenas, Grécia, desde 2004, e co-fundador e membro permanente da organização " World Peace and Diplomacy Forum (WPDF)", sediado em Cambridge , Inglaterra.
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Gravitação e Cosmologia - Manoel Borges
COMITÊ CIENTÍFICO DA COLEÇÃO ENSINO DE CIÊNCIAS
Em memória dos meus pais, José e Maria Neide, pela vida, suporte,
e amor ao longo do caminho. Saudades!
Mesmo que a fonte seja desconhecida, ainda
assim o regato flui.
Henri Poincarè
A idéia que a minha mente formulou,
foi comprovada no ensolarado céu do Brasil.
Albert Einstein, 1925
AGRADECIMENTOS
Certa vez li em algum livro de poesia, não escrito por um autor dos mais famosos, que Os anos nos trazem mais esquecimentos do que lembranças
. A citação ao livro se perdeu, bem como ao autor; restou apenas a frase escrita numa antiga agenda já meio que desgastada pelos anos. Tenho por hábito escrever em agendas citações, e nem sempre anoto o autor e a obra. Por esse motivo, por não desejar ser injusto ao esquecer-me de nominar alguém, acho que o mais prudente aqui neste espaço reservado aos agradecimentos seja não citar nomes. O importante mesmo é deixar uma mensagem de gratidão aos professores que muito me ensinaram e orientaram quanto às melhores escolhas, e aos colegas que estiveram a caminhar ao meu lado, seja por um período breve ou longo, pelos aconselhamentos, pelas cumplicidades, pelas brincadeiras ou até por somente mera camaradagem (aquele coleguismo bem ingênuo e desinteressado que só os mais jovens cultivam) diante de adversidades e problemas do cotidiano. E como esquecer-me dos alunos; a todos eles, obrigado pelo grande aprendizado. É bem verdade que alunos, assim como os nossos mestres, também ensinam.
Por último (mas não por menor importância), sou grato aos que no dia-a-dia, inesperadamente, nos confrontamos, seja num olhar furtivo no metrô, num bom dia
e no sorriso desajeitado na cafeteria da esquina, num elevador, ou naquele passeio dominical no parque. E porque não agradecer à moça da faxina que quase com invisibilidade está sempre presente (todos os dias) a cuidar de casa, e do bem estar no local de trabalho. Todos eles são, de fato, importantes, e não importa por quanto tempo tenham passado nas nossas vidas. Por vezes, aquele simples sorriso momentâneo de alguém (mesmo desconhecido), pode nos inspirar por todo um dia; novas motivações acontecem de onde menos se espera. Fernando Pessoa, o grande escritor, disse certa vez: O valor das coisas não está no tempo que elas duram, mas na intensidade com que acontecem. Por isso existem momentos inesquecíveis, coisas inexplicáveis e pessoas incomparáveis
.
Minha gratidão a todos.
Manoel Borges.
Brasília, maio de 2020.
PREFÁCIO
A construção de uma teoria relativista da gravitação foi um dos objetivos a que se dedicou Einstein, entre 1907 e 1916, ano em que finalmente alcançou o seu objetivo. O resultado final ficou conhecido como Teoria da Relatividade Geral, ou alternativamente como Teoria de Gravitação de Einstein. A Relatividade Restrita (ou Especial), criada em 1905, aparece como um caso particular da teoria geral. A nova teoria passou por testes importantíssimos e decisivos, sobretudo ao explicar anomalias no movimento de Mercúrio e ao prever exatamente a deflexão da luz no campo gravitacional do Sol, hipótese confirmada em 1919, após célebre experiência realizada no Brasil, em Sobral (Ceará), levada a termo por um grupo internacional de astrônomos, cujo resultado, analisado pormenorizadamente, foi celebrado por Einstein. Em 1925, ao passar pela América do Sul, no Rio de Janeiro, ele declarou para um amigo e jornalista, e posteriormente escreveu a um jornal local (a comunicação original se perdeu, sem que viesse a ser publicada: Fonte – Museu do Eclipse): "A idéia que a minha mente formulou, foi comprovada no ensolarado céu do Brasil". O aspecto mais revolucionário da Relatividade talvez seja não apenas a predição de fenômenos sutis, quanto os brevemente aqui descritos, mas o surgimento de exigências estéticas a condições e evidências fenomenológicas. O ponto de partida da teoria é de uma simplicidade exemplar: a igualdade entre massa inercial e massa gravitacional, o que implica o famoso princípio da equivalência.
Logo após a sua formulação final, em 1916, e escrita das equações de campo, conhecidas como equações de Einstein, coube a Schwarzschild (1916) encontrar a famosa solução com simetria esférica, análoga ao potencial de Newton, que teria um papel importantíssimo no desenvolvimento da astrofísica relativista: em 1929, a construção (e a utilização) de telescópio de grande capacidade observacional permitiu ao astrônomo Edwin Hubble anunciar a lei de recessão das galáxias que, a posteriori, encontrou uma explicação no modelo do Big Bang (1972). Hubble percebeu, baseado na Relatividade Geral, que as galáxias distantes estariam distanciando-se da Terra mais rápido do que galáxias mais próximas. Só que elas não estavam em movimento: é que cada vez mais espaço está sendo criado entre os objetos. Em outras palavras, o universo está se expandindo, e esse fato é conhecido como Lei de Hubble. A Relatividade, portanto, passou a desempenhar papel importante para explicar fenômenos cosmológicos, como as possíveis origens do nosso universo. Mas há outras aplicações bem práticas, no cotidiano no século XXI, da Teoria de Einstein: pode-se citar o uso do GPS, essencial em localização, comunicação, aquisição e transmissão de dados, assim como toda a moderna comunicação sem fio, como smartphones, e, ainda, as portas giratórias.
Este texto de conteúdo didático, em nível de pós-graduação, é o resultado de notas de aula do curso de Gravitação e Cosmologia que ministrei entre 1996 e 2012 para alunos do Programa de Pós-Graduação em Matemática e em Matemática Aplicada, da Unesp – São José do Rio Preto. O curso tinha por objetivos: i) apresentar a Teoria da Relatividade Geral de uma forma concisa e compreensível aos estudantes com formação em Física ou Matemática; e ii) propiciar detalhes técnicos avançados a todos que, direta ou indiretamente, tivessem algum interesse em especializar-se na teoria, quer por mera aquisição de conhecimentos, ou até mesmo para o desenvolvimento de pesquisas avançadas.
No tópico introdutório, Teoria da relatividade: uma introdução
, destinado àqueles com pouco ou nenhum conhecimento em Relatividade Geral, é feita uma breve apresentação sobre o Princípio da Relatividade, a Relatividade Especial, os Tensores e a Relatividade Geral. Para os que dispõem de uma base em Física Teórica, esse tópico pode ser omitido sem prejuízo dos capítulos que se seguem. O Capítulo 1 trata do Limite newtoniano
, e mostra como, a partir de uma série de particularizações, a Teoria de Einstein reduz-se à Teoria de Newton. A solução de Schwarzschild, discorrida no Capítulo 2, solução particular das equações de Einstein, é apresentada num contexto que implicou quer no desenvolvimento de vários tópicos sobre a origem e evolução do universo, quer na validação da própria Relatividade Geral. O teste decisivo sobre a curvatura do espaço, que afeta a trajetória da luz vinda das estrelas, foi confirmado, cabe mencionar uma vez mais, após observação de um eclipse em Sobral, Ceará (1919). Finalmente, o Capítulo 3 lida com os Buracos negros
previsíveis na Teoria de Einstein a partir da Solução de Schwarzschild. Sobre um aprofundamento da temática abordada neste texto, é recomendável ao leitor aprimorar-se no estudo das Geometrias Curvas, com ou sem Torção, em Topologia e em Cosmologia, tópicos que foram também abordados no Programa de Pós-Graduação em Matemática (Unesp –São José do Rio Preto), e em alguns dos cursos básicos que ministrei entre os anos de 1996 e 2012. Ao longo do texto são apresentadas sete Notas complementares, que têm o intuito de instigar a curiosidade do leitor, e, talvez, a sua motivação para estudos avançados sobre os temas ali discorridos.
M. F. Borges
Brasília, setembro de 2019.
Sumário
Teoria da Relatividade: uma introdução 15
Capítulo 1
DE EINSTEIN A NEWTON: O LIMITE NEWTONIANO 59
1.1 Introdução 59
1.2 Gravitação de Newton 60
1.3 A Teoria da Relatividade 61
1.3.1 Princípio de Equivalência Fraco 62
1.3.2 O Espaço-Tempo de Minkowski 62
1.3.3 Lei da Gravitação de Einstein 64
1.3.4 A Geodésica 64
1.4 O Limite Newtoniano 65
1.4.1 Comentários 65
1.4.2 Primeira Suposição Física 65
1.4.3 A Velocidade 66
1.4.4 A aceleração 67
1.4.5 Análise da Geodésica 67
1.4.6 Segunda Suposição Física 70
1.4.7 Equação de d’Alembert 73
1.4.8 Conexão entre as Derivadas Ordinárias e Derivadas Covariantes 74
1.4.9 Uma solução particular 74
1.4.10 Utilizando a Série de Taylor 75
1.4.11 Notação Matricial 76
Capítulo 2
CAMPO DE GRAVITAÇÃO CENTRAL SIMÉTRICO:
A SOLUÇÃO DE SCHWARZSCHILD. 79
2.1 Introdução 79
2.2 Preliminares 80
2.3 As Hipóteses de Schwarzschild 82
2.4 Cálculo da Conexão Afim 85
2.5 Cálculo do Tensor de Ricci 88
2.6 A Solução das Equações de Campo no vácuo 88
2.7 A Solução Final de Schwarzschuild 89
2.8 Análise da Solução de Schwarzschild 90
2.9 Duas Aplicações da Métrica de Schwarzschild 92
2.10 Conclusão 111
Capítulo 3
Buracos Negros 113
3.1 Introdução 113
3.2 Pré-história dos Buracos Negros 114
3.3 A Teoria da Relatividade Geral e a Métrica de Schwarzschild 117
3.4 A Singularidade de Schwarzschild 118
3.4.1 A solução de Schwarzschild no sistema de coordenadas usual 118
3.4.2 A Solução de Schwarzschild em outro sistema de coordenadas 125
3.5 Estrelas colapsadas e buracos negros. 128
3.6 Emissão de Ondas Gravitacionais 132
3.7 Buraco Negro Supermassivo 134
3.8 Representação de um Buraco Negro num Quadro Espaço - Temporal 136
3.9 Buracos Negros Girantes. Uma Introdução 139
3.10 Entropia e temperatura de um buraco negro. 140
3.11 Considerações 142
3.12 Conclusão 153
Capítulo 4
Considerações Finais 155
REFERÊNCIAS 167
Apêndice A 173
Apêndice B 178
Apêndice c 185
Apêndice d 191
Índice Remissivo 195
Teoria da Relatividade: uma introdução
A gravidade permeia o universo. É ela que mantém unidos alguns bilhões de estrelas da nossa Via Láctea. É ela também que faz com a Terra movimente-se ao redor do Sol, e a Lua em volta da Terra; é ela, ademais, que faz com que as maçãs maduras e os aviões avariados caiam em direção ao solo. Três nomes ao longo da história destacam-se no desenvolvimento de uma teoria e compreensão sobre a gravidade: i) Galileu Galilei, que foi pioneiro a estudar o processo de queda livre e da queda num meio que oferece resistência; ii) Isaac Newton, que foi o primeiro a ter a noção da gravidade como uma força universal; e iii) Albert Einstein, que disse que a gravidade não é nada mais que a curvatura do continuum espaço-tempo quadri-dimensional.
1) Primórdios: de Galileu e Newton, a Einstein
1.1) O Princípio da Inércia
Ao longo da história do desenvolvimento da Física, e principalmente no estabelecimento das leis da Mecânica, no século XVI, a escolha de um referencial é essencial para que se possam realizar medições e confirmação de previsões. As conclusões chegadas a partir das análises em um dado referencial