Manual de Matemática Avançada

De Simone Malacrida

Este livro explora muito da matemática avançada, começando com o marco dado pela análise matemática e passando para geometria diferencial e fractal, lógica matemática, topologia algébrica, estatística avançada e análise numérica.
Ao mesmo tempo, serão fornecidas informações abrangentes sobre equações diferenciais e integrais, análise funcional e desenvolvimento avançado de matrizes e tensores.
Com a base matemática exposta, será possível compreender todos os mecanismos de descrição do conhecimento científico expressos através de uma grande variedade de formalismos.

• Idioma: Português
• Editora: Simone Malacrida
• Data de lançamento: 12 de fev. de 2023
• ISBN: 9798215206461

Simone Malacrida

Simone Malacrida (1977) Ha lavorato nel settore della ricerca (ottica e nanotecnologie) e, in seguito, in quello industriale-impiantistico, in particolare nel Power, nell'Oil&Gas e nelle infrastrutture. E' interessato a problematiche finanziarie ed energetiche. Ha pubblicato un primo ciclo di 21 libri principali (10 divulgativi e didattici e 11 romanzi) + 91 manuali didattici derivati. Un secondo ciclo, sempre di 21 libri, è in corso di elaborazione e sviluppo.

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Manual de Matemática Avançada

SIMONE MALACRIDA

Simone Malacrida (1977)

Engenheiro e escritor, trabalhou em pesquisa, finanças, política energética e plantas industriais.

Este livro explora muito da matemática avançada, começando com o marco dado pela análise matemática e passando para geometria diferencial e fractal, lógica matemática, topologia algébrica, estatística avançada e análise numérica.

Ao mesmo tempo, serão fornecidas informações abrangentes sobre equações diferenciais e integrais, análise funcional e desenvolvimento avançado de matrizes e tensores.

Com os fundamentos matemáticos expostos, será possível compreender todos os mecanismos de descrição do conhecimento científico expressos através de uma grande variedade de formalismos.

ÍNDICE ANALÍTICO

––––––––

INTRODUÇÃO

I – TOPOLOGIA GERAL

II - LIMITES E CONTINUIDADE

III – CÁLCULO DIFERENCIAL

IV – CÁLCULO INTEGRAL

V – ESTUDO DE FUNÇÕES COM VARIÁVEIS REAIS

VI – GEOMETRIA ANALÍTICA AVANÇADA

VII – GEOMETRIAS NÃO EUCLIDEANAS

VIII – FUNÇÕES REAIS COM MÚLTIPLAS VARIÁVEIS

IX – FUNÇÕES IMPLÍCITAS

X – MATEMÁTICA VETORIAL AVANÇADA E MATRIZ

XI – GEOMETRIA DIFERENCIAL

XII – MATEMÁTICA TENSORIAL

XIII – CÁLCULO INTEGRAL PARA FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

XIV – DESENVOLVIMENTOS EM SÉRIE

XV – ANÁLISE COMPLEXA

XVI – ANÁLISE FUNCIONAL

XVII – TRANSFORMAR

XVIII – DISTRIBUIÇÕES

XIX – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

XX – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS

XXI – EQUAÇÕES INTEGRAIS E INTEGRAL-DIFERENCIAIS

XXII – ÁLGEBRA AVANÇADA

XXIII – ESTRUTURAS ALGEBRAICAS

XXIV – TEORIA DE GALOIS

XXV – GEOMETRIA COMBINATÓRIA

XXVI – MATEMÁTICA DISCRETA

XXVII – ESTATÍSTICAS AVANÇADAS

XXVIII – PROCESSOS ESTOCÁSTICOS

XXIX – ANÁLISE NUMÉRICA

XXX – GEOMETRIA FRACTAL

XXXI – TEORIA DOS NÚMEROS

XXXII – LÓGICA MATEMÁTICA AVANÇADA

APOSTILA

INTRODUÇÃO

Neste livro, forneceremos todos os fundamentos da matemática avançada, incluindo tanto a grande disciplina da análise matemática quanto todos os campos díspares que surgiram nos últimos dois séculos, incluindo, para mencionar apenas alguns deles, geometria diferencial e fractal, geometrias não euclidianas, topologia algébrica, análise funcional, estatística, análise numérica e lógica matemática.

Quase todas essas noções foram desenvolvidas após a introdução do formalismo da análise matemática no final do século XVII e, desde então, o caminho da matemática sempre continuou em paralelo entre este setor e todas as outras possíveis subdisciplinas que gradualmente lado a lado e seguiram caminhos independentes.

Para compreender plenamente o que é apresentado no manual, são necessários conhecimentos e pré-requisitos de matemática elementar, que não relataremos aqui, como por exemplo tudo relacionado a trigonometria, geometria analítica, matemática matricial, números complexos e as principais funções elementares de reais variável.

Todo este conhecimento está presente no Manual de matemática elementar publicado anteriormente, que deve ser considerado como preparatório para o que será explicado a seguir e que representa uma espécie de primeiro volume de todo o conhecimento matemático para o qual este manual é antes a conclusão dada por a segunda parte.

Sobre a importância da matemática na sociedade atual e sobre os vários significados da matemática como linguagem artificial e universal que ela descreve la Natura, consulte, portanto, a introdução do referido manual anterior.

Resta entender por que a análise matemática introduziu esse divisor de águas entre a matemática elementar e a avançada.

Há duas áreas que se complementam nesse discurso.

Por um lado, só com a introdução da análise matemática foi possível descrever, com um formalismo adequado, as equações que regem os fenómenos naturais, sejam eles físicos, químicos ou de outra extracção, por exemplo sociais ou económicos. Em outras palavras, a análise matemática é a principal ferramenta para construir esses mecanismos que nos permitem prever resultados, projetar tecnologias e pensar em novas melhorias a introduzir.

Por outro lado, a análise matemática possui, dentro de sua própria natureza, uma peculiaridade específica que a distingue claramente da matemática elementar anterior. Isso ficará evidente desde o primeiro capítulo deste manual, por enquanto nos limitamos a dizer como a análise matemática prevê considerações locais, não exclusivamente pontuais. Apenas a passagem da pontualidade à localidade permitirá construir um discurso de globalidade, indo muito além do conhecível anterior.

Este manual não pretende apresentar todas as facetas possíveis de cada setor da matemática avançada ou mesmo expor as demonstrações dos teoremas infinitos que pontilham a análise matemática e outras disciplinas relacionadas. Em primeiro lugar não está no âmbito da redacção e depois seria necessária uma quantidade exorbitante de páginas, o que contrasta com o espírito de um manual, pela sua natureza sintético e compêndio.

Neste manual, dois temas principais serão abordados várias vezes, para sublinhar sua importância mútua.

A primeira é dada pela geometria avançada, em todas as suas formas, justamente para indicar o caminho paralelo entre a matemática e a geometria que se faz presente desde os primórdios da história.

O segundo argumento é típico do salto introduzido pela análise matemática e está relacionado com a topologia que, por razões de compreensão, apresentaremos em várias partes do manual.

Ao final do livro, serão apresentados tópicos de interesse geral que podem desconsiderar a análise matemática, como álgebra avançada, estatística e análise numérica.

O último capítulo será dedicado à lógica matemática avançada. Em uma inspeção mais detalhada, o primeiro capítulo do mencionado Manual de matemática elementar foi dedicado à lógica elementar. Fechar este manual de matemática avançada, novamente com a lógica, não é de forma alguma uma coincidência: o desenvolvimento da matemática é interno às construções lógicas que dão a bússola de referência a todo o raciocínio humano.

Cada capítulo individual pode ser considerado como um campo completo da matemática em si, mas somente analisando todos os tópicos será possível tocar na vastidão da matemática e é por isso que a ordem dos capítulos reflete uma sucessão de conhecimentos em progresso contínuo.

I

TOPOLOGIA GERAL

O salto conceitual entre matemática elementar e avançada ficou evidente somente após a introdução da análise matemática. O facto desta disciplina ser local, e não pontual, conduziu ao estudo e desenvolvimento da topologia, entendida como o estudo dos lugares e espaços não só no sentido geométrico, mas num sentido muito mais amplo. A topologia geral dá as bases de todos os setores subjacentes, entre os quais podemos incluir a topologia algébrica, a diferencial, a avançada e assim por diante.

Definimos topologia como uma coleção T de subconjuntos de um conjunto geral X para o qual as três propriedades a seguir são válidas:

1) O conjunto vazio e o conjunto geral X pertencem à coleção T.

2) A união de uma quantidade arbitrária de conjuntos pertencentes a T pertence a T.

3) A interseção de um número finito de conjuntos pertencentes a T pertence a T.

Um espaço topológico é definido por um par (X, T) e os conjuntos que constituem a coleção T são conjuntos abertos. As topologias particulares podem ser a trivial em que T é formado por X e o conjunto vazio e a discreta em que T coincide com o conjunto das partes de X. Na primeira topologia apenas o conjunto vazio e X são conjuntos abertos, enquanto na topologia o discreto todos os conjuntos são conjuntos abertos. Duas topologias são comparáveis se uma delas for um subconjunto da outra, enquanto que se uma topologia contiver a outra, diz-se que a primeira é mais refinada que a segunda. O conjunto de todas as topologias é parcialmente ordenado: a topologia trivial é a menos fina, a discreta é a mais fina e todas as outras topologias possíveis têm finura intermediária entre essas duas.

Em um espaço topológico, um conjunto I contendo um ponto x pertencente a X é chamado de vizinhança (aberta) de x se existe um conjunto aberto A contido em I contendo x:

Um subconjunto de um espaço topológico é fechado se seu complemento é aberto. Conjuntos fechados têm três propriedades:

1) A união de um número finito de conjuntos fechados é um conjunto fechado.

2) A interseção de conjuntos fechados é um conjunto fechado.

3) O conjunto X e o conjunto vazio são fechados.

Com essas propriedades, uma topologia baseada em conjuntos fechados pode ser construída. Em geral, um subconjunto pode ser fechado, aberto, aberto e fechado, nem aberto nem fechado.

Dito S um subconjunto de um espaço topológico X, x é um ponto de fechamento de S se toda vizinhança (aberta ou fechada) de x contém pelo menos um ponto de S.

Dito S um subconjunto de um espaço topológico X, x é um ponto de acumulação de S se toda vizinhança (aberta ou fechada) de x contém pelo menos um ponto de S diferente do próprio x.

Cada ponto de acumulação é um ponto de fechamento enquanto vice-versa não é válido. Os pontos de bloqueio que não são pontos de acumulação são chamados de pontos isolados.

O conjunto de todos os pontos de fechamento de um determinado conjunto é chamado de fechamento e é denotado por cl(I). O fechamento em um conjunto é um conjunto fechado e contém o conjunto inicial, além disso, é a interseção de todos os conjuntos fechados que contêm o conjunto inicial e é o menor conjunto fechado contendo o conjunto inicial. Essas definições atendem pelo nome de fechamento topológico.

Portanto, um conjunto é fechado se e somente se coincide com seu próprio fechamento.

Finalmente, o fechamento de um subconjunto é um subconjunto do fechamento do conjunto principal, e um conjunto fechado contém outro conjunto se e somente se este conjunto contém o fechamento do segundo.

Nem é preciso dizer que o fechamento do conjunto vazio é o conjunto vazio, o do conjunto geral X é o conjunto geral X e em um espaço discreto cada conjunto é igual ao seu fechamento.

Dito S um subconjunto de um espaço topológico X, x é um ponto interior de S se existe uma vizinhança (aberta ou fechada) de x contida em S.

O conjunto de todos os pontos internos de um determinado conjunto é chamado de interior e é denotado por int(I). A parte interna é um subconjunto aberto do conjunto inicial, é a união de todos os conjuntos abertos contidos nesse conjunto e é o maior conjunto aberto contido nesse conjunto. Essas definições são chamadas de interior topológico.

Um conjunto é aberto se e somente coincide com seu interior, além disso o interior satisfaz a relação de idempotência.

Finalmente, o interior de um subconjunto é um subconjunto do interior do conjunto principal, e um conjunto aberto contém outro conjunto se e somente se esse conjunto contém o interior do segundo.

Nem é preciso dizer que o interior do conjunto vazio é o conjunto vazio, o do conjunto geral X é o conjunto geral X e em um espaço discreto cada conjunto é igual ao seu interior.

Um subconjunto fechado de um espaço topológico é dito ser raro se não tiver interior. Um espaço topológico é dito de primeira categoria se é a união de uma família contável de conjuntos fechados raros, vice-versa diz-se que é de segunda categoria.

A parte interna e o fechamento podem ser associados a operadores que colocam esses dois conceitos em uma dupla relação.

A diferença de conjunto entre o fechamento e o interior é chamada de fronteira, um elemento pertencente à fronteira é chamado de ponto de fronteira. A fronteira é também a interseção entre o fechamento e seu complemento e é definida como o conjunto de pontos tal que cada vizinhança contém pelo menos um ponto pertencente ao conjunto e pelo menos um ponto não pertencente a este conjunto.

A fronteira de um conjunto é fechada. Um conjunto é fechado se e somente se sua fronteira está contida no conjunto enquanto ele é aberto se e somente se sua fronteira é disjunta dele.

A fronteira de um conjunto é igual à fronteira de seu complemento, e a operação de fechamento é simplesmente a união do conjunto com sua fronteira. A fronteira de um conjunto é vazia se e somente se o conjunto é fechado e aberto.

Um subconjunto de um espaço topológico é localmente fechado se satisfaz pelo menos uma das seguintes condições: é aberto em seu fechamento ou é aberto em qualquer espaço fechado ou é fechado em qualquer espaço aberto ou se para cada ponto do subconjunto existe uma vizinhança aberta deste ponto tal que a interseção entre a vizinhança e o subconjunto é fechada na vizinhança.

Um espaço topológico é dito compacto se de qualquer família de subconjuntos abertos do espaço cuja cobertura é dada por:

pode-se extrair um subconjunto finito J em I tal que a mesma relação de cobertura seja mantida. Esta é a chamada compacidade de cobertura e também pode ser definida pelo uso de conjuntos fechados.

Um espaço topológico é dito compacto por sequências se toda sequência de pontos no espaço admite uma subsequência convergente para um ponto no espaço.

O teorema de Bolzano-Weierstrass afirma que todo subconjunto infinito de um espaço compacto admite pelo menos um ponto de acumulação.

Um subconjunto fechado de um compacto é um compacto; o produto de espaços compactos é um compacto assim como o quociente.

O conjunto vazio e qualquer conjunto definido com a topologia trivial são compactos. Um intervalo fechado e limitado no conjunto dos números reais é compacto. Todo espaço topológico finito também é compacto, assim como a esfera fechada em RxR e o conjunto de Cantor (que discutiremos longamente no capítulo dedicado à geometria fractal, quase no final do livro). Conjuntos infinitos com topologia discreta não são compactos.

Diz-se localmente compacto um espaço que, para cada ponto, admite uma base de vizinhanças constituídas por conjuntos compactos.

Um espaço topológico não vazio é dito conectado se o único par de subconjuntos disjuntos cuja união é o próprio espaço é dado pelo par entre o espaço e o conjunto vazio. Equivalentemente, podemos afirmar que um espaço topológico é conectado se e somente se os únicos subconjuntos abertos e fechados são o conjunto vazio e o próprio espaço.

Um componente conectado de um espaço é chamado de subconjunto conectado não contido em nenhum outro subconjunto conectado. Um espaço cujos componentes conectados são seus pontos é dito totalmente desconectado. O conjunto de Cantor e um conjunto com topologia discreta são totalmente desconectados.

A união de retas no plano é um espaço conexo se pelo menos duas retas não são paralelas, enquanto no conjunto dos números reais um subconjunto é conexo se e somente se for um intervalo no qual cada extremo pode ser infinito. Além disso, o produto de espaços conectados é um espaço conectado.

Um espaço topológico é dito conectado por arcos, ou por caminhos, se para cada par de pontos no espaço existe uma função contínua (para a definição de continuidade, veja o próximo capítulo) que os conecta com igual valor aos pontos finais do caminho. Todo espaço conectado por caminhos está conectado, mas não vice-versa.

Um espaço é localmente conectado se possui um sistema de vizinhanças conectadas. Um espaço topológico conectado por caminhos é simplesmente conectado se o caminho é contrátil à vontade até a transformação (chamada homotopia) no caminho constante.

Definimos função contínua entre espaços topológicos como uma função para a qual a contra-imagem de todo conjunto aberto é aberta.

Definimos o espaço de Hausdorff como um espaço topológico que satisfaz os seguintes axiomas:

1) Pelo menos uma vizinhança do ponto contendo o próprio ponto corresponde a cada ponto no espaço.

2) Dados dois bairros do mesmo ponto, a interseção desses dois bairros é um bairro.

3) Se a vizinhança de um ponto é um subconjunto de um conjunto, então este conjunto também é uma vizinhança do ponto.

4) Para cada vizinhança de um ponto existe outra vizinhança desse ponto tal que a primeira vizinhança é a vizinhança de qualquer ponto pertencente à segunda vizinhança.

5) Dados dois pontos distintos, existem duas vizinhanças disjuntas.

Em particular, o último axioma é chamado de axioma da separabilidade de espaços topológicos de Hausdorff. Os axiomas de separabilidade de espaços topológicos podem ser generalizados de acordo com uma categoria de refinamentos sucessivos:

1) Espaços : para cada par de pontos existe um espaço aberto que contém um ponto e não o outro.

2) Espaços : para cada par de pontos existem dois espaços abertos tais que ambos contêm um dos dois pontos, mas não o outro.

3) Espaços : para cada par de pontos existem duas disjunções abertas que os contêm respectivamente. Estes são os espaços de Hausdorff.

4) Espaços regulares: para cada ponto e para cada disjunção fechada existem duas disjunções abertas que os contêm respectivamente.

5) Espaços : se são e regulares.

6) Espaços completamente regulares: para todo ponto disjunto e para todo conjunto fechado existe uma função contínua com valores reais que é 0 no conjunto fechado e 1 no ponto.

7) Espaços : se forem e totalmente regulares.

8) Espaços normais: para cada par de disjuntos fechados existem dois disjuntos abertos que os contêm respectivamente.

9) Espaços : se forem e normais.

Subconjuntos abertos ou fechados de um espaço de Hausdorff localmente compacto são localmente compactos. Qualquer espaço compacto de Hausdorff é de segunda categoria.

Lembramos que em espaços topológicos noções de matemática elementar como os conceitos de enumerabilidade ou cardinalidade podem ser estendidas, definindo assim conjuntos enumeráveis e conjuntos contínuos.

Um subconjunto é denso em um espaço topológico se todos os elementos do subconjunto pertencem ao conjunto ou são pontos de acumulação. Definições equivalentes são as seguintes: um subconjunto é denso se seu fechamento é o espaço topológico ou se todo subconjunto aberto não vazio intercepta o subconjunto ou se o complemento do subconjunto tem um interior vazio ou se cada ponto do espaço é o limite de uma sequência contida no subconjunto.

Todo espaço topológico é denso em si mesmo; números racionais e irracionais são densos no conjunto dos números reais. Um espaço é separável se seu subconjunto denso for contável. Um conjunto nunca é denso se não for denso em nenhum conjunto aberto.

Um espaço topológico é uniforme se tiver uma família de subconjuntos que satisfaça as seguintes propriedades:

1) Toda família de subconjuntos contém a diagonal do produto cartesiano X x X.

2) Toda família de subconjuntos é fechada sob inclusão.

3) Toda família de subconjuntos é fechada sob a interseção.

4) Se uma vizinhança pertence à topologia então existe uma família de subconjuntos pertencentes à topologia tal que, se dois pares de pontos com um ponto comum pertencem à família de subconjuntos, então os dois pontos disjuntos pertencem à vizinhança.

5) Se uma vizinhança pertence à topologia então também a inversão da vizinhança no produto cartesiano pertence à topologia.

Um espaço métrico é um espaço topológico gerado por uma topologia de uma base de vizinhanças circulares. Nos espaços métricos define-se uma métrica que associa um número real não negativo a dois pontos no espaço para os quais se verificam as seguintes propriedades:

Uma função é dita contínua em um ponto em um espaço métrico se, para qualquer escolha de quantidades positivas arbitrárias, a distância entre este ponto e outro ponto é limitada. Considerando as vizinhanças esféricas e o domínio da função temos:

Um espaço métrico é sempre uniforme. Em um espaço métrico, vale também a distância entre um ponto e um conjunto, definida como:

Esta distância é zero se e somente se x pertence ao fechamento de I. A distância entre dois pontos de dois conjuntos pode ser definida da mesma forma. Em vez disso, dita o excesso de um conjunto sobre o outro:

A distância de Hausdorff é a seguinte:

Um espaço métrico é limitado se seu fechamento for limitado. Em um espaço métrico x é um ponto de fechamento se para cada raio positivo existe um ponto dentro do espaço tal que a distância entre x e este ponto é menor que o raio. Num espaço métrico x é um ponto interior se