Funções no Ensino Médio: aplicação de uma atividade experimental sobre vazão de líquidos para o estudo de funções no Ensino Médio

De Wilson de Oliveira Rangel

Este trabalho mostra a construção de uma sequência didática baseada em um experimento que irá permitir aos estudantes do Ensino Médio formalizarem e explorarem o conceito de função e a identificarem as suas diferentes representações e aplicações. Essa proposta teve como abordagem metodológica a Modelagem Matemática, cujas diretrizes possibilitam o estudo, a pesquisa e a problematização de uma situação real. Com os dados obtidos do experimento, os estudantes podem compor uma tabela de modo a converter esses dados em um gráfico de pontos no plano cartesiano. A partir desse gráfico, é construída uma função para modelar o fenômeno observado. Todas as tarefas propostas estão detalhadamente descritas em Folhas de Atividades, que constituem a base para o propósito desse trabalho. No total, foram confeccionadas doze Folhas de Atividades separadas em cinco blocos, incluindo o último bloco, que contempla uma avaliação final com questões sobre vazão e construção de gráficos. Com a conclusão da aplicação e análise dos resultados, o professor pode constatar que a proposta pedagógica consegue alcançar as metas desejadas, estimulando e incentivando a participação dos estudantes no desenvolvimento de sua autonomia e de seus saberes matemáticos, contribuindo decisivamente para a compreensão do significado do conceito de função.

• Idioma: Português
• Editora: Editora Dialética
• Data de lançamento: 2 de fev. de 2022
• ISBN: 9786525223445

Pré-visualização do livro

CAPÍTULO 1 - O ESTUDO DA FUNÇÃO AFIM NA MATEMÁTICA E NO ENSINO MÉDIO

1.1 INTRODUÇÃO

Esse capítulo é destinado ao estudo e análise da função afim sob o enfoque da sua presença e importância no ensino da Matemática.

Seguindo os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio e a Proposta Curricular da Secretaria de Educação do Estado de São Paulo, verificamos como é feito o tratamento acerca do ensino de funções, analisando as sugestões de abordagem para esse tema.

Também buscamos analisar as opiniões e posicionamentos de alguns autores especialistas da área de educação matemática ou afins sobre a maneira como o conceito de função pode ser abordado nas escolas.

De uma maneira sucinta, intentamos destacar o parecer favorável ao uso de metodologias diferenciadas que visam trazer melhorias na construção do conhecimento matemático. Concluímos que conteúdos que são trabalhados por meio de situações contextualizadas e associadas a experimentos realizados pelos próprios estudantes se caracterizam como facilitadores para a construção dos significados de conceitos matemáticos dentro do processo de ensino e de aprendizagem.

1.2 DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES DA FUNÇÃO AFIM

Nesta seção, buscamos estabelecer as principais definições e propriedades da função afim para caracterizar a notação usualmente empregada em seu estudo no Ensino Médio e justificar alguns resultados que usamos nessa dissertação. Para isso, seguimos como referência a obra A Matemática do Ensino Médio, volume 1, do Prof. Elon L. de Lima e outros autores, que trata das funções afins.

...; as funções afins, as quadráticas, as exponenciais, as logarítmicas e as trigonométricas, cada uma delas é estudada como o modelo matemático adequado para representar uma situação específica.

A fim de saber qual o tipo de função que dever ser empregado para resolver um determinado problema, é necessário comparar as características desse problema com as propriedades típicas da função que se tem em mente. Este processo requer que se conheçam os teoremas de caracterização para cada tipo de função. Sem tal conhecimento é impossível aplicar satisfatoriamente os conceitos e métodos matemáticos para resolver os problemas concretos que ocorrem, tanto no dia a dia como nas aplicações da Matemática às outras ciências e à tecnologia. (LIMA, 1997, prefácio).

Uma função chama-se função afim quando existem constantes , tais que para todo .

No caso de e , temos a função identidade definida por . Para e , a função linear . Se e , a função constante . Para e , as translações dadas por .

Podemos saber se uma determinada função é afim sem conhecermos os valores numéricos dos coeficientes e . Assim, quando , obtemos o valor de , ou seja, que pode ser chamado de valor inicial da função .

Se conhecemos os valores de e que a função assume em dois pontos distintos arbitrários e , podemos determinar o coeficiente . De fato, dados e , temos que

, de modo que

Esse número é chamado de taxa de crescimento ou taxa de variação da função .

Se temos uma função crescente. Se , decrescente e, quando , uma função constante.

Como recurso de representação de uma função afim , temos o seu gráfico, que é sempre uma linha reta. Isso pode ser verificado tomando-se três pontos quaisquer , , pertencentes ao gráfico e mostrando que eles são colineares. Sem perda de generalidade, podemos admitir que . Vamos mostrar que

Da Geometria Analítica, temos que a distância entre os pontos e é dada por

=

De modo análogo, obtemos

Logo,

Portanto, os pontos são colineares e o gráfico de qualquer função afim é uma reta não-vertical.

No gráfico da função afim , podemos ainda destacar que o coeficiente é a ordenada do ponto no qual a reta intercepta o eixo OY e o coeficiente é a inclinação ou coeficiente angular, determinado pela tangente trigonométrica do ângulo que a reta faz com o eixo OX, medido sempre no sentido anti-horário. Se , temos uma reta ascendente e se temos uma reta descendente.

Para concluir, como precisamos de dois pontos para determinar uma reta no plano, é suficiente conhecermos os valores e que a função afim assume para dois valores quaisquer e (