Experimentos Mentais na Educação Matemática: Uma Analogia Com Provas Matemáticas Formais

De Willian José da Cruz

O livro Experimentos mentais na Educação Matemática: uma analogia com provas matemáticas formais lança um novo olhar sobre a Matemática, vendo-a como uma atividade simbólica, desenvolvida em um ambiente sociocultural e histórico. O livro mostra-se bastante acessível aos professores com formação básica em Matemática, sendo uma importante contribuição à Educação Matemática. Com uma linguagem dinâmica, esta leitura torna-se uma excelente fonte de pesquisa e discernimento a todos que se interessam pelas mais variadas formas de entender o conhecimento matemático, por meio dos experimentos mentais, esclarecendo aspectos que envolvem a Filosofia e a História da Matemática.

• Idioma: Português
• Editora: Editora Appris
• Data de lançamento: 21 de jun. de 2019
• ISBN: 9788547324995

Pré-visualização do livro

Editora Appris Ltda.

1ª Edição - Copyright© 2018 dos autores

Direitos de Edição Reservados à Editora Appris Ltda.

Nenhuma parte desta obra poderá ser utilizada indevidamente, sem estar de acordo com a Lei nº 9.610/98.

Se incorreções forem encontradas, serão de exclusiva responsabilidade de seus organizadores.

Foi feito o Depósito Legal na Fundação Biblioteca Nacional, de acordo com as Leis nºs 10.994, de 14/12/2004 e 12.192, de 14/01/2010.

COMITÊ CIENTÍFICO DA COLEÇÃO ENSINO DE CIÊNCIAS

Dedico esta obra à minha família, que me apoia e me guia;

e aos meus professores Michael F. Otte e Ubiratan D’Ambrosio, pela acolhida e ensinamentos.

AGRADECIMENTOS

Agradeço primeiramente ao meu Senhor Deus, que sempre atende aos meus anseios e que nunca me abandona mesmo nos momentos mais difíceis.

À minha esposa, pela compreensão e segurança; aos meus filhos, pelo amor e paciência, aos meus pais, pelo incentivo. Família, vocês impulsionaram meu crescimento, alimentaram meus sonhos e acreditaram nas minhas conquistas.

Ao professor Michael Friedrich Otte, meu orientador e mentor intelectual, aquele que me proporcionou ter conhecimentos acima do que eu poderia ser capaz de acreditar, mostrando os passos necessários para a compreensão do que realmente a matemática pode proporcionar.

Ao professor Ubiratan D’Ambrosio, inspiração de conhecimento, de crença na educação, de respeito ao ser humano e de perseverança na busca de criar novas formas de lidar com as diferentes culturas. É minha fonte inesgotável de entendimento de mundo.

Aos meus alunos, que sempre acreditaram no meu trabalho e nas minhas perspectivas em relação à Educação Matemática.

Aos meus amigos que me apoiam e sempre me incentivaram, mesmo que, em alguns momentos, eu não pudesse lhes dar a atenção devida.

APRESENTAÇÃO

Consideramos que a Educação Matemática é uma área de pesquisa muito complexa. Essa complexidade pode ser reduzida se considerarmos que o seu segredo encontra-se na relação entre a Linguagem, a Lógica, a Filosofia e a própria Matemática.

Mas como lidar com esse contraste que, por um lado, coloca a argumentação dependendo de uma intuição de diagramas como um experimento mental e, por outro, coloca a Linguagem e a Lógica sustentando a ideia de uma prova totalmente formal tomando conta da Matemática? Esse questionamento leva a outro, o que é uma explicação em matemática, do ponto de vista do ensino? Na busca de responder tais questionamentos, iniciei uma pesquisa teórica, cujo fruto resultou neste livro.

Esta obra permitiu identificar quais semelhanças e diferenças existem entre os processos de experimentação mental e provas matemáticas formais. Minha aposta nesta escrita é mostrar uma nova forma de entender como funciona o pensamento e a comunicação em Matemática.

PREFÁCIO

Meu colega e amigo Willian José da Cruz, o professor Lukinha, como é chamado pelos seus alunos e pelos amigos, honrou-me com o convite para escrever o prefácio deste livro. É com o maior prazer que participo desta obra da maior importância para a literatura científica brasileira e para a educação. O livro é uma elaboração das pesquisas de Lukinha para seu doutorado, orientado por Michael Otte e defendido com brilho na Universidade Anhanguera de São Paulo. Tive a oportunidade de estar na banca de defesa de sua tese e, assim, aprofundar-me no tema da pesquisa, sintetizado no título deste livro.

Uma das críticas que muitos educadores matemáticos fazem aos programas e à prática escolar é a apresentação formal, fria e acrítica da matemática acadêmica no ensino. Eu me incluo entre esses críticos. Os alunos dedicam-se a apreender o que é apresentado pelo professor, para serem depois cobrados em exercícios descontextualizados e repetitivos e nas provas, sobrando para eles pouco ou nenhum espaço para seu imaginário e sua criatividade. O verdadeiro ato de aprender é resultado de exercitar o imaginário, com tentativas e busca de novas direções, erros e acertos, e o exercício crítico sobre essas tentativas. Esse é o preâmbulo a conceituações teóricas. Assim progrediu a ciência ao longo da história. Novas ideias, novos conceitos, novas teorias resultam de experimentos mentais.

Este livro é um estudo aprofundado sobre Filosofia e História das ciências, com especial referência à Matemática e às evidentes implicações para a educação.

O autor apresenta nesta obra a construção de uma base teórica a partir da intuição para chegar a uma realidade subjetiva de natureza dinâmica e criativa, que apresenta características próprias. Esse é o resultado de reificação, interpretação e processos de dedução, bem como de suas relações. O professor discute o conceito de abdução de C. S. Peirce para se entender a capacidade do homem em adivinhar corretamente os caminhos da natureza e também a parte incontrolada da mente. Conclui que experimentos mentais podem, por meio de um raciocínio diagramático, desenvolver-se a uma teoria geral das descobertas científicas, em especial na Matemática e na Educação Matemática.

Traz na sua apresentação filósofos como Frege e Schröeder para dialogar com filósofos como seu orientador, Michael Otte, que é uma referência sobre experimentos mentais, e outros filósofos contemporâneos. Assim prepara a base teórica sobre a qual repousa sua apresentação do experimento mental de Argand ao discutir representações geométricas de quantidades imaginárias, um dos principais exemplos discutidos no livro. Volta à discussão sobre C. S. Peirce, mostrando seu raciocínio diagramático como um experimento mental. Isso leva a afirmar a utilidade dos diagramas para a Matemática e a Epistemologia, principalmente quando a continuidade está envolvida.

Dentre as principais conclusões de Lukinha, destaco a complementaridade de intensão (ou sentido) e extensão (ou referência) como forma interativa que se torna visível e distinguível da dualidade por considerar a perspectiva genética do conhecimento. Isso é fundamental quando se considera o caráter evolutivo da Matemática, o que permite dizer que este livro, com o enfoque dado pelo autor, é também uma importante contribuição à História da Matemática.

O livro tem uma linguagem clara, o que faz sua leitura fluir muito bem, mesmo tratando-se de temas tão sofisticados e profundos. Torna o livro acessível aos professores com formação básica em Matemática, sendo uma importante contribuição à Educação Matemática. A organização da obra é muito amigável ao leitor. Consiste em uma Introdução bem abrangente, deixando claras as intenções do autor. O conteúdo é desenvolvido em quatro capítulos, finalizando com um capítulo sobre Possibilidades e Conclusões, o que torna o livro um referencial teórico para outros trabalhos em Filosofia e História da Matemática. Uma lista de referências com mais de 100 títulos completa esta obra.

Este livro é uma grande contribuição à Educação Matemática e senti muito prazer em escrever este prefácio, o qual me fez refletir e aprender muito.

Professor doutor Ubiratan D’Ambrosio

Professor emérito da Unicamp – SP

Sumário

INTRODUÇÃO

1. Semiótica e a complementaridade de sentido e referência

1. O PENSAMENTO OPERA POR SIGNOS E A COMUNICAÇÃO POR PROVAS FORMAIS: UMA INTRODUÇÃO

1.1. A abordagem semiótica

1.2. Entendendo o processo semiótico

1.2.1. Poslúdio: a perspectiva genética ou evolutiva do conhecimento

1.3. O princípio da complementariedade na perspectiva de Otte 

1.4. Intensão e extensão

1.5. Variáveis substitucionais e variáveis objetuais

1.5.1. Poslúdio: as variáveis no contexto geral da matemática

2. Experimentos mentais e provas matemáticas formais: buscando compreensões

2. INTUIÇÃO E PROVAS MATEMÁTICAS FORMAIS, ALGUMAS CONSIDERAÇÕES

2.1. Prova/prova formal em matemática

2.1.1. Poslúdio: uma cadeia tautológica

2.2. Os experimentos mentais na perspectiva de Kuhn

2.3. Caracterizando os experimentos mentais na perspectiva de Kuhn

2.3.1. Poslúdio: o uso de experimentos mentais

2.4. Uma analogia entre a matemática e a física na perspectiva de Brown: o platonismo

2.4.1. Poslúdio: o psicologismo na adoção do platonismo cognitivo

2.5. Um contraste entre os pensamentos de Kuhn e brown

2.5.1. Poslúdio: explicando a diferença entre Kuhn e Brown

2.6. Derivações euclidianas como experimentos mentais na perspectiva de Ian Muelller

2.6.1. Poslúdio: capacidade de desenvolver um contexto

2.7. A noção de estrutura – uma dinâmica para formalização do pensamento matemático

2.7.1. Poslúdio: a matemática é baseada na construção de conceitos

3. EXPERIMENTOS MENTAIS NA MATEMÁTICA

3.1. OS DIAGRAMAS, IMAGENS, DESENHOS PODEM SER CONSIDERADOS PROVAS FORMAIS?

3.1.1. Poslúdio: o processo de matematização

3.2. EXEMPLOS QUE ESTABELECEM UMA ANALOGIA ENTRE EXPERIMENTOS MENTAIS E PROVAS

3.2.1. Poslúdio: prova explanatória

3.3. A DEMONSTRAÇÃO DA SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO NA GEOMETRIA EULIDIANA: EXPERIMENTO MENTAL OU PROVA FORMAL?

3.3.1. Poslúdio: matemática uma ciência intuitiva

3.4. OS EXPERIMENTOS MENTAIS DE DESCARTES

3.4.1. Poslúdio: o inicio da matemática estrutural

3.5. OS EXPERIMENTOS MENTAIS E O PENSAMENTO RELACIONAL

3.5.1. Poslúdio: a dinâmica do conhecimento

4. ABDUÇÃO E O RACIOCÍNIO DIAGRAMÁTICO PARA O USO DOS EXPERIMENTOS MENTAIS

4. O CONCEITO DE ABDUÇÃO

4.1. Abdução e o pensamento matemático formal: o experimento mental de Argang

4.2. O experimento mental de Argand

4.2.1. Poslúdio: abdução exige continuidade

4.3. O raciocínio diagramático

4.4. O raciocínio diagramático em Peirce como experimento mental

4.4.1. Poslúdio: Diagramas são especialmente úteis

5. POSSIBILIDADES E CONCLUSÕES

5. CONSIDERAÇÕES E ARGUMENTOS

5.1. Características dos experimentos mentais

5.2. Características das provas formais

5.3. Uma perspectiva geral

6. EPÍLOGO

6.1. ASPECTOS HISTÓRICOS E EPISTEMOLÓGICOS NA CONCEITUAÇÃO DOS EXPERIMENTOS MENTAIS

6.1.1. Sujeito e objeto

6.1.2. Juízos analíticos e sintéticos

6.1.3. Descoberta e fundamentação do conhecimento matemático

6.2. O PROBLEMA E A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: EXPERIMENTOS MENTAIS COMO MODELOS

6.3. O PAPEL DO DIAGRAMA NOS ELEMENTOS DE EUCLIDES: UMA PRÁTICA PARA OS EXPERIMENTOS MENTAIS

6.4. O PROBLEMA DE PAPERT: UM EXEMPLO DE EXPERIMENTOS MENTAIS

REFERÊNCIAS

INTRODUÇÃO

A Educação Matemática é uma área de pesquisa muito complexa. Esta complexidade pode ser reduzida, se considerarmos que o seu segredo encontra-se na relação entre a Linguagem, a Lógica, a Filosofia e a própria Matemática.

Mas como lidar com esse contraste que, por um lado, coloca a argumentação dependendo de uma intuição de diagramas como um experimento mental e, por outro, coloca a Linguagem e a Lógica sustentando a ideia de uma prova totalmente formal tomando conta da Matemática?

Este livro apresenta-se como uma possibilidade de mostrar e entender essa problemática e criar critérios que nos permitam identificar quais semelhanças e diferenças existem entre os processos de experimentações mentais e provas matemáticas formais.

Para alcançarmos essa meta, estruturamos a presente obra em cinco capítulos.

No primeiro capítulo, apresentamos a Semiótica de C. S. Peirce, e a noção de Complementaridade na Educação Matemática de M. F. Otte. A Semiótica de Peirce é conceituada como a ciência que trata basicamente de como os signos de todos os tipos referem-se aos seus objetos e a outros signos. O signo não representa o objeto em todos os seus aspectos, mas com referência a um tipo de ideia (conceito), o qual é conscientemente reconhecido pelo sujeito cognoscente. Para isso, o sujeito tem de criar outros signos e interpretações do primeiro.

A complementaridade de intensão (ou sentido) e extensão (ou referência) são conceituadas de forma interativa que se torna visível e distinguível da mera dualidade, por considerar a perspectiva genética do conhecimento, a qual realça o caráter evolutivo da Matemática, a partir da perspectiva da relação entre o sujeito e o objeto.

No segundo capítulo apresentamos as ideias de T. Kuhn, J. R. Brown e I. Mueller. Kuhn apresenta uma função para os experimentos mentais, à qual associamos as ideias de mudança de paradigmas na Matemática. Para Kuhn, o experimento mental pode ser compreendido como um poderoso instrumento no aprimoramento e na compreensão humana sobre a natureza. Esse mesmo autor classifica os experimentos mentais como uma forma de colocar os cientistas diante de uma contradição ou conflito, implícito em seu modo de pensar, sendo a propedêutica para eliminação da confusão aparente e como um meio que pode tanto ensinar ao cientista sobre seus conceitos quanto sobre o mundo.

Nesse contexto, o uso dos experimentos mentais possibilita-nos compreender que aprender novas coisas, sem novos dados, surge do fato de que o importante são as aplicações dos conceitos ou dos objetos e não apenas as relações dos conceitos entre si, ou seja, não é apenas a coerência da teoria.

Brown apresenta o platonismo cognitivo, que pode ser interpretado como um ficcionismo na crença da existência de objetos matemáticos do mesmo modo como nas ciências empíricas. Segundo Brown, os objetos matemáticos não são meramente fabricantes de sentenças verdadeiras, mas são responsáveis por nossas crenças matemáticas.

A proposta de Brown, que estabelece uma analogia entre a Física e a Matemática, com base na premissa do platonismo, mostra que a Matemática trata tanto de objetos como a Física, ou seja, a fertilidade dessa analogia está no fato de podermos usar a intuição. A diferença de Brown e Kuhn está na consideração dos experimentos mentais como fatos de uma teoria e como ferramenta que auxilia encontrar contradições nos conceitos envolvidos, respectivamente.

Uma derivação euclidiana é um experimento mental, isto é, uma experiência que tem a intenção de mostrar que uma determinada operação possa ser realizada ou que um certo tipo de objeto tenha uma determinada propriedade. Mueller afirma que a caracterização de uma derivação euclidiana, como um experimento mental o qual envolve um objeto físico idealizado, é claramente justificada, já que pode ser representada em um diagrama.

No terceiro capítulo, traçamos uma discussão acerca das aplicações dos experimentos mentais no desenvolvimento das provas ou dos problemas em Matemática. Começamos por considerar a dinâmica do processo de matematização do conhecimento, mostrando que a Matemática busca reduzir a realidade para um contexto descritivo. Desse modo, as provas matemáticas formais deixam explícitas todas às premissas. Muitas vezes, o processo de dedução apresenta equívocos conceituais ou informações que não são acessíveis ao cientista, obrigando-o a criar um mundo alternativo. O experimento mental é como construir esse mundo novo possível, considerando situações aceitas de forma implícita.

Consideramos que a ideia de experimentos mentais na Matemática deve fornecer informações que se assemelham em qualquer prova ou fornecer informações convincentes, explicativas, em curto prazo que funcionam como uma prova.

Kant incluiu a Filosofia e a Lógica nas ciências discursivas. A Matemática é, para Kant, uma ciência intuitiva. Nesse contexto, a Filosofia e a Lógica baseiam-se no conhecimento do conceito e a Matemática, ao contrário, na intuição conceitual. Por isso é que, na concepção de Kant, o conhecimento filosófico considera o particular no geral e o conhecimento matemático considera o geral no particular.

Para Descartes, as provas matemáticas não tinham o papel de estabelecer e convencer de uma certeza. Essas provas deveriam propor métodos de invenção direta e esclarecer a natureza do problema, permitindo resolvê-lo. Por isso ele rejeitava a prova por absurdo.

Destacamos também o pensamento relacional, que nos permite compreender que uma prova só pode ser efetivamente possível, se buscar referências a outras coisas não mencionadas nas premissas originais. Essas coisas podem ser introduzidas por construções conceituais e por generalizações, ou seja, são experimentos mentais.

No quarto capítulo, buscamos desenvolver uma compreensão sobre o conceito de abdução e o conceito de raciocínio diagramático. Peirce considera a Matemática como um raciocínio diagramático, mostrando que uma prova só é possível por referência a outros objetos não mencionados nas premissas iniciais. Ou seja, se, por exemplo, precisamos de construções auxiliares, às quais chamamos de experimentos mentais, para sermos capazes de realizar um argumento, tal prova é teoremática.

A visão cognitiva geralmente cede ao princípio de que qualquer forma de atividade cognitiva requer um modelo ou uma representação do local ou do território onde ela opera. Esses modelos ou representações são funcionais para uma complementaridade da cognição humana.

Essa complementaridade auxilia na mediação entre o universal e o particular, ou entre a descrição e a construção da realidade objetiva. Podemos considerar que, na construção de uma dada prova matemática ou na resolução de um determinado problema, o experimento mental funcionaria como um tipo de modelo.

Denominamos síntese abdutiva o trabalho que a mente faz, não pelas atrações interiores dos sentimentos ou das representações em si, nem por uma força transcendental de necessidade, mas por meio do interesse da inteligibilidade. Isso ela faz a partir da introdução de uma ideia não contida nos dados, o que oferece as conexões que eles não teriam tido.

A síntese abdutiva exige sempre a continuidade (empírica ou mental), ou seja, a analogia ou a conexão entre provas matemáticas e experimentos mentais só funciona, se a generalização e a abdução têm relevância na Matemática, negando que a Matemática seja uma calculação puramente mecânica.

Por fim, no quinto capítulo, sintetizamos as ideias discutidas neste livro, no intuito de mostrar que a analogia entre experimentos mentais e provas matemáticas formais só aparece, se acreditamos em uma relação entre descoberta e fundamentação do conhecimento.

1

Semiótica e a complementaridade de sentido e referência

1. O PENSAMENTO