O Livro da Matemática: Volume 3

De Simone Malacrida

A maioria da matemática é apresentada neste livro, a partir dos conceitos básicos e elementares para investigar as áreas mais complexas e avançadas.
A matemática é abordada tanto do ponto de vista teórico, dos teoremas e das definições de cada tipo específico quanto em um nível prático, continuando a resolver mais de 1.000 exercícios.
A abordagem da matemática é dada pelo conhecimento progressivo, expondo os vários capítulos em uma ordem lógica para que o leitor possa construir um caminho contínuo no estudo dessa ciência.
O livro inteiro é dividido em três seções distintas: matemática elementar, a matemática avançada dada pela análise e geometria e, finalmente, a parte relativa a estatísticas, álgebra e lógica.
A escrita é um trabalho com tudo incluído em relação à matemática, deixando de fora nenhum aspecto das muitas facetas que ele pode assumir.

• Idioma: Português
• Editora: Simone Malacrida
• Data de lançamento: 12 de fev. de 2023
• ISBN: 9798215610480

Simone Malacrida

Simone Malacrida (1977) Ha lavorato nel settore della ricerca (ottica e nanotecnologie) e, in seguito, in quello industriale-impiantistico, in particolare nel Power, nell'Oil&Gas e nelle infrastrutture. E' interessato a problematiche finanziarie ed energetiche. Ha pubblicato un primo ciclo di 21 libri principali (10 divulgativi e didattici e 11 romanzi) + 91 manuali didattici derivati. Un secondo ciclo, sempre di 21 libri, è in corso di elaborazione e sviluppo.

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"O Livro da Matemática: Volume 3

SIMONE MALACRIDA

A maior parte da matemática é apresentada neste livro, começando com os conceitos básicos e elementares para investigar as áreas mais complexas e avançadas.

A matemática é abordada tanto do ponto de vista teórico, expondo teoremas e definições de cada tipo particular, quanto do ponto de vista prático, passando a resolver mais de 1.000 exercícios.

A abordagem da matemática se dá pelo conhecimento progressivo, expondo os diversos capítulos em uma ordem lógica para que o leitor possa construir um caminho contínuo no estudo daquela ciência.

O livro inteiro é dividido em três seções distintas: matemática elementar, matemática avançada dada pela análise e geometria e, finalmente, a parte relativa à estatística, álgebra e lógica.

A escrita se destaca como um trabalho abrangente sobre matemática, não deixando de fora nenhum aspecto das muitas facetas que ela pode assumir.

Simone Malacrida (1977)

Engenheiro e escritor, trabalhou em pesquisa, finanças, política energética e plantas industriais.

ÍNDICE ANALÍTICO

37 – EQUAÇÕES INTEGRAIS E INTEGRAL-DIFERENCIAIS

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38 – TEORIA ESPECTRAL

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39 – MAT HEMATICS E GEOMETRIA DISCRETA

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40 – FRACTAL GEOM ETRY

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41 – CÁLCULO NUMÉRICO

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42 – ANÁLISE NUMÉRICA

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TERCEIRA PARTE : ESTATÍSTICA , ÁLGEBRA AVANÇADA E LÓGICA AVANÇADA

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43 – CÁLCULO COMBINATÓRIO

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44 – ESTATÍSTICAS ELEMENTARES

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45 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE

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46 – INFERÊNCIA ESTATÍSTICA

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47 – PROCESSOS ESTOCÁSTICOS I

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48 – UMA ÁLGEBRA AVANÇADA

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49 – ESTRUTURAS ALGEBRAICAS

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50 – TEORIA DE GALOIS

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51 – G EOMETRIA COMBINATÓRIA

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52 – TEORIA DOS NÚMEROS

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53 – LÓGICA MATEMÁTICA AVANÇADA

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37

INTEGRAL E INTEGRAL-DIFERENCIAL EQUAÇÕES

Introdução e definições

Uma equação integral é uma equação que apresenta a incógnita sob o sinal de integral.

Na verdade, sempre que você resolve uma equação diferencial, a fórmula da solução é uma equação integral, então já falamos muito sobre essas equações nos capítulos anteriores. Uma equação integral linear tem uma forma como esta:

Onde K(x,z) é o núcleo da equação (que pode ser real ou complexa, simétrica ou antisimétrica) e f(x) é o termo conhecido.

Se f(x) for diferente de zero falamos de equações do segundo tipo, se for igual a zero falamos de equações do primeiro tipo.

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Equações integrais de Fredholm e Volterra

Em equações integrais, a integral é definida para que tenhamos extremos de integração.

Se estes extremos são fixos falamos de equação integral de Fredholm, se ao invés um dos extremos é variável em x a equação é chamada de Volterra.

O operador de Fredholm é definido como um operador linear limitado entre espaços de Banach com um núcleo de dimensão finita e um núcleo con.

Além disso, dizendo T um operador de Fredholm (de um espaço X para um Y) e S um operador linear e limitado (do espaço Y para aquele X) temos que

são operadores compactos em X e Y.

O índice de um operador de Fredholm é definido da seguinte forma:

O conjunto de operadores de Fredholm forma um conjunto aberto no espaço de Banach de operadores lineares limitados e contínuos.

O índice da composição de dois operadores de Fredholm é igual à soma dos índices dos operadores individuais, além disso, o operador de Fredholm adicionado tem o índice oposto em relação ao inicial.

Finalmente, dado um operador de Fredholm e um compacto, sua convolução retorna novamente um operador de Fredholm com o mesmo índice inicial.

O produto tensorial entre um espaço de Banach e seu dual é um espaço completo dotado da seguinte norma:

O espaço definido pela conclusão com esta norma é denotado desta forma (chamado B o espaço genérico de Banach) .

Um núcleo de Fredholm é um elemento desse espaço topológico projetivo.

Cada núcleo pode ser associado a um traço e a um operador linear de forma canônica:

Além disso, todo núcleo é chamado de p-sumável se a seguinte relação for válida:

A teoria de Fredholm assume que o núcleo de Fredholm é comparável a uma função de Green, solução da equação diferencial:

Onde L é um operador diferencial linear.

Aplicando esta equação aos espaços de Sobolev e escrevendo a equação anterior como uma equação de autovalor:

Uma expressão do núcleo de Fredholm pode ser derivada:

Para a equação não homogênea de Fredholm, podemos reescrever o termo conhecido desta maneira:

E a solução é dada por:

Usando a teoria espectral, o operador de resolução é o seguinte:

E a solução é dada por:

O teorema de Fredholm fornece uma condição suficiente para a existência de soluções das equações de Fredholm: o núcleo deve ser um quadrado somável em um conjunto adequado.

A alternativa de Fredholm fornece uma condição necessária e suficiente para a existência das soluções: a solução deve ser ortogonal ao conjunto completo de soluções da equação de adição correspondente, ou seja, da equação de Fredholm obtida substituindo o núcleo de Fredholm por sua adição e cada escalar por seu conjugado complexo.

Nestes casos o resolvente pode ser desenvolvido em uma série de potências através da série de Liouville-Neumann:

Se o núcleo for contínuo, toda equação integral de Fredholm tem uma solução única para qualquer termo conhecido e a solução, representada pela série de Liouville-Neumann, é uniformemente convergente.

O determinante de Fredholm é o seguinte:

Enquanto o determinante do resolvente é a chamada função zeta de Riemann:

Uma equação não homogênea de Fredholm do primeiro tipo com extremo de integração ilimitado e kernel definido assim K(x,z)=K(xz) pode ser vista como a convolução de K(x,z) e y(z), portanto, a solução pode ser escrito em termos de uma transformada de Fourier ou transformada anti-Fourier:

Existem outras equações integrais e integro-diferenciais com as quais a física está espalhada, em particular podemos recordar as equações de Maxwell para eletromagnetismo, a equação de compressibilidade para mecânica estatística e termodinâmica e a equação de Boltzmann para estatísticas físicas.

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Cálculo de variações

Um campo fundamental de aplicação das equações integrais diz respeito ao cálculo das variações, ou seja, a busca dos pontos extremos dos funcionais.

O lema fundamental do cálculo de variações afirma que, dada uma função contínua em um conjunto aberto e uma função contínua e continuamente diferenciável no mesmo conjunto aberto, se a seguinte condição for válida:

E a função contínua e continuamente diferenciável é zero em ambos os extremos, então a outra função é zero em todo o conjunto.

Graças a este lema é possível passar de uma versão integral do cálculo das variações, como o princípio variacional de Hamilton, para a resolução de equações diferenciais, como as de Euler-Lagrange.

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exercícios

Exercício 1

Resolva a seguinte equação integral:

Lembrando a regra de convolução da transformada de Laplace:

Aplicamos a transformada de Laplace a ambos os lados e exploramos a linearidade:

Conhecendo a transformada da função seno e a regra de convolução:

Do qual:

Isolando a transformação:

Que pode ser reescrita como:

Neste ponto, aplicamos a transformada inversa de Laplace e temos a solução:

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Exercício 2

Resolva a seguinte equação integral diferencial:

Aplicamos a transformada de Laplace e lembramos de sua linearidade:

Lembrando da transformada da derivada, da unidade, do seno e da regra de convolução temos:

Isolamos a transformada:

Decompondo o denominador:

Fatorando em frações simples:

Os coeficientes serão dados por:

Portanto:

Neste ponto, tudo o que resta é a antitransformação de acordo com Laplace.

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Exercício 3

Encontre a solução da equação de Fredholm, integral, não homogênea, linear e do tipo II:

Onde lambda é um parâmetro arbitrário, enquanto:

Elas são funções dadas e contínuas em [a,b]. K(x,y) é chamado de núcleo da equação e é:

No espaço C[a,b] considere:

A definição de distância implica que:

Se isso acontece:

O mapa A é uma contração no espaço C[a,b]. Este espaço está completo. Pelo teorema da contração, a equação apresenta, para um lambda suficientemente pequeno, uma e apenas uma solução dada por:

Exercício 4

Resolva, no sentido de distribuições, a seguinte equação de Abel:

Lembrando a função gama de Euler, a equação de Abel pode ser escrita como:

Cadê:

E o produto dado acima é a convolução no sentido de distribuições.

Pelas propriedades da convolução distributiva temos:

Usando a relação explícita, obtemos a solução:

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Exercício 5

Usando o método do solver, encontre a solução de:

O primeiro núcleo iterado é nulo, de fato:

Portanto, o núcleo é ortogonal a si mesmo e a solução é obtida simplesmente substituindo g(x) sob o sinal integral:

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Exercício 6

Usando o método da contração, resolva:

Nós notamos que:

Tomando o máximo, temos:

Operador B é uma contração. Lugar:

Seja encontrado:

Portanto, esta função é um ponto fixo e é a solução.

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Exercício 7

Usando o método resolvente, calcule:

Lugar:

Nós temos:

O método resolvente pode ser usado se:

Nesse caso:

A solução é portanto:

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Exercício 8

Encontre a solução da equação de Volterra usando o método de contração e o método resolvente:

Para o método de contração, tomamos:

Nós temos:

Para o método resolvente, consideramos o kernel de Fredholm truncado:

Os núcleos iterados serão dados por:

E assim o solucionador é:

A solução é portanto:

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Exercício 9

Calcule autovalores e autofunções da equação integral:

Cadê:

O núcleo é definido por uma função limitada e é somado ao quadrado em [0,1] x [0,1]. Também é simétrico. O núcleo pode ser escrito como:

Os autovalores e autofunções são dados por:

Para:

Não há soluções, enquanto para:

Existem infinitas soluções dadas por:

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Exercício 10

Usando o método alternativo de Fredholm, resolva:

Cadê:

O núcleo é definido por uma função quadrada limitada e somável, além disso é simétrico. Podemos reescrever como:

A equação de autovalor é dada por:

Possui soluções apenas para:

Estas soluções são:

Notamos que, para qualquer n, temos:

Isso significa que existe uma e apenas uma solução qualquer que seja g(x), de fato:

Esta solução é:

Exercício 11

Usando a técnica de núcleos degenerados, resolva:

Lembre-se de que os núcleos degenerados são da forma:

Cadê:

Eles são vetores linearmente independentes.

A solução pode ser escrita como:

No nosso caso, temos:

Integrando obtemos:

Isso leva ao seguinte sistema:

A solução é portanto:

––––––––

Exercício 12

Encontre as soluções de:

Com:

Onde u satisfaz a equação de Euler-Lagrange.

A equação de Euler-Lagrange é dada por:

A única solução que satisfaz as condições nos extremos é:

No entanto, esta solução não é mínima, de fato dada a sequência:

Nós temos:

Dado que:

Então m=0. Entretanto, o funcional I admite mínimos na classe das funções contínuas e regulares por partes, isto é, em todas aquelas funções que admitem um número finito de descontinuidades do primeiro tipo na derivada.

Segue-se que é possível construir infinitas funções deste tipo que satisfaçam a equação e sejam mínimos.

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Exercício 13

Encontre as soluções do seguinte funcional integral que não tem soluções na classe de funções :

Com a função integrando convexa e tal que u satisfaz a equação de Euler-Lagrange com:

Voce terá:

Com constantes ced e reais. Não há soluções de classe . Considerando ainda que:

Também não há soluções na classe de funções regulares por partes.

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Exercício 14

Encontre o extremo de:

Onde u satisfaz a equação de Euler-Lagrange e temos:

Tendo que satisfazer a equação de Euler-Lagrange, temos:

E então:

Funções são uma família de hipérboles.

Impondo as condições de contorno, temos:

O extremo é então:

––––––––

Exercício 15

Encontre o extremo de:

Com:

Nós temos:

Do qual:

É uma família de círculos com centro no eixo das abcissas.

A solução, se existir, é única.

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Exercício 16

Encontre as soluções do funcional:

Onde u satisfaz a equação de Euler-Lagrange e temos:

Nós temos isso:

Então uma solução é:

A função deve ser contínua em c, então:

Além disso:

E então:

Duas soluções são obtidas. Um para:

E os seus:

O outro para:

E os seus:

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Exercício 17

Usando a técnica de núcleos degenerados, calcule:

Nós temos:

Da definição obtemos:

––––––––

Exercício 18

Usando a técnica de núcleos degenerados, calcule:

Nós temos:

Da definição obtemos:

Exercício 19

Calcule autovalores e autofunções da equação integral:

Com:

O núcleo é limitado, somável e simétrico.

Pode ser escrito como:

O operador inverso é um operador diferencial de primeira ordem tal que:

Cuja solução geral é:

As autofunções normalizadas são:

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Exercício 20

Usando a alternativa de Fredholm, resolva:

O núcleo é limitado, somável e simétrico.

Pode ser escrito como:

A equação que determina os autovalores é:

Que tem solução apenas para:

Temos portanto:

Todos os autovalores são diferentes de 1 e, portanto, a solução é única para qualquer g(x).

Como g(x)=0 a solução é:

38

TEORIA ESPECTRAL

Definições

Seja H um espaço de Hilbert. A seguir, sempre assumiremos que H é um espaço complexo.

Consideramos o produto escalar e o espaço dos operadores lineares contínuos em H .

Dado um operador A pertencente a este espaço, diremos que um número complexo pertence ao conjunto resolutivo de A se existir outro operador B pertencente ao mesmo espaço tal que:

Onde I denota o operador de identidade.

Isso equivale a exigir que:

Seja uma função bijetiva do próprio H, sendo B sua função inversa (linear e contínua).

O conjunto de números complexos que não pertencem ao conjunto de resolução de A é chamado espectro de A e é denotado pela letra grega