O Livro da Matemática: Volume 2

De Simone Malacrida

A maioria da matemática é apresentada neste livro, a partir dos conceitos básicos e elementares para investigar as áreas mais complexas e avançadas.
A matemática é abordada tanto do ponto de vista teórico, dos teoremas e das definições de cada tipo específico quanto em um nível prático, continuando a resolver mais de 1.000 exercícios.
A abordagem da matemática é dada pelo conhecimento progressivo, expondo os vários capítulos em uma ordem lógica para que o leitor possa construir um caminho contínuo no estudo dessa ciência.
O livro inteiro é dividido em três seções distintas: matemática elementar, a matemática avançada dada pela análise e geometria e, finalmente, a parte relativa a estatísticas, álgebra e lógica.
A escrita é um trabalho com tudo incluído em relação à matemática, deixando de fora nenhum aspecto das muitas facetas que ele pode assumir.

• Idioma: Português
• Editora: Simone Malacrida
• Data de lançamento: 12 de fev. de 2023
• ISBN: 9798215201381

Simone Malacrida

Simone Malacrida (1977) Ha lavorato nel settore della ricerca (ottica e nanotecnologie) e, in seguito, in quello industriale-impiantistico, in particolare nel Power, nell'Oil&Gas e nelle infrastrutture. E' interessato a problematiche finanziarie ed energetiche. Ha pubblicato un primo ciclo di 21 libri principali (10 divulgativi e didattici e 11 romanzi) + 91 manuali didattici derivati. Un secondo ciclo, sempre di 21 libri, è in corso di elaborazione e sviluppo.

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O Livro da Matemática: Volume 2

SIMONE MALACRIDA

A maior parte da matemática é apresentada neste livro, começando com os conceitos básicos e elementares para investigar as áreas mais complexas e avançadas.

A matemática é abordada tanto do ponto de vista teórico, expondo teoremas e definições de cada tipo particular, quanto do ponto de vista prático, passando a resolver mais de 1.000 exercícios.

A abordagem da matemática se dá pelo conhecimento progressivo, expondo os diversos capítulos em uma ordem lógica para que o leitor possa construir um caminho contínuo no estudo daquela ciência.

O livro inteiro é dividido em três seções distintas: matemática elementar, matemática avançada dada pela análise e geometria e, finalmente, a parte relativa à estatística, álgebra e lógica.

A escrita se destaca como um trabalho abrangente sobre matemática, não deixando de fora nenhum aspecto das muitas facetas que ela pode assumir.

Simone Malacrida (1977)

Engenheiro e escritor, trabalhou em pesquisa, finanças, política energética e plantas industriais.

ÍNDICE ANALÍTICO

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26 – FUNÇÕES REAIS MULTIVARIÁVEIS

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27 – GEOMETRIA DIFERENCIAL

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28 – CÁLCULO INTEGRAL MULTIVARIÁVEL

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29 – INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE E VOLUME

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30 – MATEMÁTICA TENSORIAL E TENSORIAL

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31 – SIS DE ANÁLISE COMPLEXA

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32 – ANÁLISE FUNCIONAL

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33 - TRANSFORMAR

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34 - DISTRIBUIÇÕES

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35 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

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36 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS

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26

FUNÇÕES REAIS MULTIVARIÁVEIS

Introdução

Funções de variáveis reais com várias variáveis são uma extensão do que foi dito para funções reais com uma variável.

Quase todas as propriedades mencionadas para funções de uma variável permanecem válidas (como injetividade, sobrejetividade e bijetividade), exceto a propriedade de ordenação que não é definível.

O domínio de uma função multivariada é dado pelo produto cartesiano dos domínios calculados nas variáveis individuais.

Um conjunto de nível, ou curva de nível, é o conjunto de pontos tal que:

O nível definido com c=0 é usado para analisar o sinal da função no domínio.

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Operações

A definição topológica de limite é a mesma dada para funções de uma variável, a definição de métrica muda da seguinte forma:

O limite existe se seu valor não depende da direção em que é calculado.

O mesmo se aplica à continuidade.

Uma função é dita contínua separadamente em relação a uma de suas variáveis se ela é contínua como uma função da única variável, mantendo as outras constantes.

A continuidade separada é uma condição mais fraca do que a continuidade global em todas as variáveis.

Para uma função de várias variáveis, no entanto, existem diferentes conceitos de derivada.

Chamamos de derivada parcial a derivada realizada apenas sobre uma das variáveis, sempre definindo a derivada como o limite de uma razão incremental.

Para distinguir a derivada parcial da total, usa-se o símbolo .

Derivadas parciais de ordem superior retornam a ordem ao expoente daquele símbolo.

Um ponto é dito simples se as primeiras derivadas parciais são contínuas e não nulas, mas se uma das derivadas é zero ou não existe, o ponto é dito singular.

A diferenciabilidade parcial implica continuidade separada.

Ao estender o conceito de derivada parcial de um caminho ao longo dos eixos coordenados para qualquer caminho, temos a derivada direcional.

Uma vez definido um vetor unitário genérico, a derivada direcional ao longo desse vetor é dada por:

A derivada direcional indica a taxa de variação da função em relação à direção dada.

A derivada de uma função com várias variáveis que leva em conta a dependência mútua das próprias variáveis é definida como a derivada total.

Por exemplo temos:

No entanto, a diferenciabilidade não é uma condição suficiente para a continuidade.

Em vez disso, uma condição suficiente é dada pela diferenciabilidade.

Uma função de várias variáveis é diferenciável em um ponto de em um conjunto aberto de espaço euclidiano n-dimensional R se existe um mapa linear L tal que a seguinte relação é válida:

O diferencial principal total é dado pelo seguinte produto:

Enquanto a derivada total é dada por .

A função é diferenciável se for diferenciável em todos os pontos de seu domínio.

O teorema diferencial total afirma que uma função é diferenciável em um ponto se todas as derivadas parciais existem em uma vizinhança do ponto e se essas derivadas parciais são contínuas.

Se a aplicação também for contínua, diz-se que a função é continuamente diferenciável.

O diferencial principal total também pode ser expresso como:

Os diferenciais totais de ordem superior podem ser expressos da seguinte forma, para uma função de duas variáveis:

Chamamos de derivadas mistas as derivadas de ordem superior à primeira que prevêem a derivação de variáveis diferentes entre si.

Para uma função de duas variáveis definidas em um conjunto aberto, se ela admite segundas derivadas mistas contínuas, vale o teorema de Schwarz segundo o qual a ordem da derivação pode ser invertida sem alterar o resultado:

Se uma função é diferenciável em um ponto, então todas as derivadas parciais calculadas naquele ponto existem e são contínuas.

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Álgebra Jacobiana, Hessiana e Nabla

O mapa linear definido como a soma das primeiras derivadas parciais é uma matriz m linhas n colunas chamada de matriz jacobiana e é exatamente o equivalente do mapa linear L mencionado anteriormente:

Se m=1, a matriz jacobiana se reduz a um vetor n-dimensional chamado gradiente que indica a direção da inclinação máxima do gráfico da função em um ponto.

Se n=1 a função parametriza uma curva e seu diferencial é uma função que indica a direção da reta tangente à curva no ponto.

Se m=n=1 a condição de diferenciabilidade coincide com a de diferenciabilidade e a matriz Jacobiana é reduzida a um número, igual à derivada da função naquele ponto.

Se m=n a matriz jacobiana é quadrada e seu determinante é conhecido como jacobiano.

O teorema da função inversa afirma que uma função continuamente diferenciável é invertível se e somente se seu determinante Jacobiano for diferente de zero.

Se uma função de várias variáveis é diferenciável, então a derivada direcional existe e é igual ao produto escalar entre o gradiente em relação à única variável e o próprio versor.

A derivada direcional, portanto, assume um valor máximo quando o gradiente e o vetor unitário são paralelos e concordantes, um valor mínimo quando são paralelos e discordantes e um valor nulo quando são perpendiculares.

Diz-se que uma diferencial é exata se e somente se for integrável, ou seja, se puder ser expressa como uma função da segunda classe de continuidade simplesmente conectada (em outras palavras, o teorema de Schwarz deve ser válido).

Definimos gradiente como a quantidade que, multiplicada de acordo com o produto escalar por qualquer vetor, retorna a derivada direcional da função em relação ao vetor.

O gradiente é um campo vetorial e, no caso de um sistema de referência cartesiano, é a soma dos produtos entre as primeiras derivadas parciais e versores:

Onde no segundo membro está a notação de acordo com o operador nabla.

Este operador diferencial é definido da seguinte forma:

Definimos a divergência de um campo vetorial contínuo e diferenciável como a função escalar dada pelo produto escalar entre o operador nabla e o campo vetorial:

Definimos rotacional de um campo vetorial contínuo e diferenciável, um campo vetorial dado pelo produto vetorial entre o operador nabla e o próprio campo:

Definimos Laplaciano o quadrado do operador nabla igual a:

Algumas propriedades do operador nabla são as seguintes:

Se todas as segundas derivadas parciais existem, definimos a matriz Jacobiana do gradiente como Hessiana da função:

Se todas as segundas derivadas forem contínuas, o teorema de Schwarz é válido e a matriz Hessiana é simétrica.

Se o gradiente da função é zero em um ponto, esse ponto é chamado de ponto crítico.

Se nesse ponto também o determinante da matriz Hessiana for zero, então o ponto crítico é chamado degenerado.

Para um ponto crítico não degenerado, se a matriz Hessiana for positiva definida, então a função tem um mínimo local naquele ponto, se em vez disso for negativa definida, há um máximo local.

Se a matriz Hessiana tiver todos os autovalores diferentes de zero e eles assumirem valores positivos e negativos, esse ponto é chamado de ponto de sela.

Em todos os outros casos, por exemplo, para matrizes Hessianas semidefinidas positivas ou negativas, nada pode ser dito sobre a presença de pontos estacionários.

Busca por pontos estacionários e método dos multiplicadores de Lagrange

Uma condição necessária para a busca de máximos e mínimos restritos é o chamado método do multiplicador de Lagrange.

Para uma função bidimensional, este método afirma que a condição necessária para ter um extremo restrito é que:

Os valores de são precisamente os multiplicadores de Lagrange, pois a função h pode ser definida como a Lagrangiana do sistema.

Um caso prático de aplicação desse formalismo é o da mecânica lagrangeana em que as equações do movimento são obtidas encontrando os pontos estacionários de uma integral, denominada ação.

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funções implícitas

Funções implícitas são funções do tipo:

Para funções bidimensionais vale o seguinte teorema de Dini.

Considerando uma função continuamente diferenciável definida em um conjunto aberto e um conjunto não vazio no qual a função f(x,y) é zero, então existe um ponto neste conjunto onde a seguinte relação vale:

Se este ponto não for crítico, ou seja, a desigualdade vale:

Então existe uma vizinhança deste ponto tal que o conjunto dado pela interseção desta vizinhança e o conjunto no qual o ponto não crítico está localizado representa o gráfico de uma função diferenciável.

Isso equivale a dizer que existe uma única função explícita do tipo y=y(x) ou x=x(y) que relaciona as duas incógnitas.

Este teorema, portanto, fornece uma condição suficiente para a explicitação das funções implícitas.

Nas dimensões múltiplas, as variáveis da função podem ser divididas em dois blocos, um até o enésimo grau e outro até o enésimo grau, conforme segue:

A matriz jacobiana calculada no conjunto aberto n+m dimensional pode ser dividida em dois blocos, lembrando a divisão de variáveis:

Assumindo que X é invertível.

O teorema da função implícita afirma que existe uma única explicitação da função f(x,y)=0. Esta função g(y)=x é continuamente diferenciável e a relação é válida:

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exercícios

Exercício 1

Determine o domínio e as derivadas parciais da seguinte função:

O domínio é dado pelo denominador diferente de zero, então:

As derivadas parciais são simplesmente:

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Exercício 2

Determine o domínio e as derivadas parciais da seguinte função:

O domínio é dado pelo denominador diferente de zero e o argumento da tangente diferente de 90° e seus múltiplos, portanto:

As derivadas parciais são simplesmente:

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Exercício 3

Determine o domínio e as derivadas parciais da seguinte função:

O domínio é dado pelo denominador diferente de zero e o argumento do logaritmo maior que zero, assim:

As derivadas parciais são simplesmente:

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Exercício 4

Determine o domínio e as derivadas parciais da seguinte função:

O domínio é dado pelo denominador diferente de zero e a raiz maior ou igual a zero, assim:

As derivadas parciais são simplesmente:

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Exercício 5

Determine os pontos mínimos e máximos locais e absolutos para a seguinte função de duas variáveis no conjunto especificado:

A função é de classe .

O conjunto dado é compacto.

Pelo