Matemágica: História, aplicações e jogos matemáticos - Volume I

De Fausto Arnaud Sampaio

A ideia de relacionar quantidades tem sido um dos pontos centrais da matemática, o que inspirou Fausto Sampaio a buscar as mais diversas e inusitadas relações entre a matemática e suas aplicações em diversas áreas, como biologia, criptografia, engenharia, física, artes, passando por sua história, pela matemática recreativa, por jogos e curiosidades.
Livro com linguagem clara e objetiva, basta o conhecimento das quatro operações básicas para sua compreensão, além da vontade de descobrir o lado fascinante dessa ciência tão presente em nosso cotidiano. Das antigas escritas secretas à moderna teoria do caos, você entrará em contato com o pensamento e as técnicas desenvolvidas por gregos, egípcios, árabes e maias, entre outros. Construirá instrumentos, desvendará truques, entenderá as ideias de grandes matemáticos e será capaz de dizer, ao final, que a simplicidade é a grande característica da matemática. Papirus Editora

• Idioma: Português
• Editora: Papirus Editora
• Data de lançamento: 18 de jul. de 2018
• ISBN: 9788544902929

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Sampaio

Prepare-se para aprender um incrível truque de adivinhação usando uma quantidade qualquer de moedas.

Escolha algumas moedas (cinco, por exemplo) e coloque-as sobre uma mesa. Digamos que haja três coroas e duas caras.

Figura 1

O que acontece com os números de coroas ao virarmos uma moeda? Observe que você pode virar uma moeda que tenha face coroa (Figura 2) ou uma que tenha face cara (Figura 3).

Figura 2

Figura 3

Antes, tínhamos três faces coroas (um número ímpar), e, ao virarmos uma moeda, teremos duas ou quatro (que são números pares). Assim, a cada movimento, mudamos de ímpar para par, depois de par para ímpar e assim por diante.

Pronto: agora podemos montar o truque. Fique de costas para a mesa com as moedas, tendo antes o cuidado de contar o número de coroas (três, na Figura 1). Peça para alguém virar as moedas (uma de cada vez); a cada vez que a pessoa virar a moeda, deve dizer: Viro.

Imagine que a pessoa virou cinco vezes as moedas. Acompanhe o que ocorre com a quantidade de coroas a cada movimento.

Como a cada movimento troca-se a quantidade de coroas de par para ímpar e vice-versa, no final devemos ter um total par de coroas. Nesse momento, você pedirá para que a pessoa coloque a mão sobre uma das moedas, escondendo-a, e diga que, mesmo assim, você adivinhará se sua face é cara ou coroa.

Como deve haver um número par de coroas, basta verificar as moedas que ficaram sobre a mesa.

Figura 4

Se o total for três coroas, a moeda escondida deve ser coroa, pois devemos ter quatro coroas (número par).

Figura 5

Se o total for duas coroas, então a moeda escondida deve ser cara, pois já temos um número par de coroas.

Diversos estudos já mostraram que dobrar um número, isto é, multiplicá-lo por dois, é uma das multiplicações mais simples de serem executadas.

Por volta de 1650 a.C., os egípcios usavam um método de multiplicação que exigia apenas que se dobrassem os números, seguindo-se uma adição conveniente de alguns resultados.

Você deve estar se perguntando: Como sabemos disso?. Em 1858, A. Henry Rhind, um antiquário escocês, estava em uma loja na cidade egípcia de Luxor, quando descobriu e comprou um antigo papiro egípcio copiado por um escriba chamado Ahmés. Logo na abertura, o escriba diz que seu objetivo é mostrar cálculos precisos de penetrar as coisas, o conhecimento das coisas existentes e todos os mistérios... e todos os segredos.

Para compreendermos o método, vamos relembrar duas maneiras de realizar a seguinte conta: 4 x (2 + 3).

O primeiro modo de fazê-lo é somar o que está dentro dos parênteses (2 + 3 = 5), e, em seguida, multiplicar por 4 (4 x 5 = 20).

O segundo modo consiste em multiplicar o 4 por cada um dos números dentro dos parênteses e, no final, somar:

4 x (2 + 3) = (4 x 2) + (4 x 3) = 8 + 12 = 20

Apesar de parecer mais demorado, esse segundo modo de fazer a conta, que recebe o nome de propriedade distributiva, às vezes pode ser mais útil, como veremos a seguir.

Vamos realizar a operação 13 x 41. O primeiro passo é colocá-los lado a lado formando duas colunas. Embaixo do 13 começamos com o número 1 e vamos dobrando: 2, 4, 8. Aqui paramos no número 8 porque seu dobro (16) já é maior que 13 (Figura 1).

Na coluna da direita, iniciamos com o próprio 41 e vamos dobrando: 82, 164, 328. (Figura 2)

Abaixo do 13, temos os números 1, 2, 4 e 8.

Então, somamos apenas aqueles que dão o total 13, ou seja, 8 + 4 + 1. Por isso, na Figura 3, o 1, o 4 e o 8 estão assinalados em destaque (em negrito).

Finalmente somamos na coluna da direita somente aqueles que estão ao lado dos números em negrito: 41 + 164 + 328 = 533.

Assim, 41 x 13 = 533, que é o mesmo resultado que obtemos usando o nosso modo tradicional de multiplicar.

A vantagem do método egípcio é que usamos apenas a tabuada do 2. A desvantagem é que a conta fica muito grande, não é mesmo?

E a propriedade distributiva? O que ela tem a ver com esse método?

Acompanhe abaixo:

41 x 13 = 41 x (8 + 4 + 1) = (41 x 8) + (41 x 4) + (41 x 1) = 328 + 164 + 41 = 533

Experimente fazer esta brincadeira: desenhe com cor azul uma linha fechada, isto é, que começa e termina no mesmo ponto. Essa linha pode, inclusive, cruzar-se em vários pontos. Peça a um amigo que também desenhe com cor vermelha uma outra linha fechada sobre a sua. Você poderá afirmar que o número de pontos de cruzamentos entre as duas linhas é um número par, mesmo sem haver contado!

Figura 1

A explicação é simples: a linha fechada, quando desenrolada, pode ser desenhada na forma de um círculo, de modo que teremos um círculo azul e outro vermelho. Partindo de um ponto P do círculo vermelho, que está do lado de fora do círculo azul, veja que deveremos entrar e depois sair dele cruzando-o nos pontos A e B da figura, até que retorne ao ponto P de origem. Assim, no exemplo acima, a linha vermelha entrou e saiu o mesmo número de vezes da linha azul, e por isso o resultado será par.

Figura 2

Observe agora o labirinto da Figura 3, conhecido pelos matemáticos como uma curva de Jordan. Você será capaz de dizer se os pontos X e Y estão do lado de dentro ou de fora da curva? Para responder a essa questão trace uma linha reta a partir de cada um deles até uma área situada fora da curva. Se a linha reta cruzar a curva um número par de vezes, o ponto está fora; no caso de ser ímpar, então o ponto está dentro do labirinto. Pense no raciocínio utilizado no cruzamento das linhas fechadas e verá que será o mesmo para explicar o uso de uma reta ligando o ponto ao lado de fora da curva.

Figura 3

Dança do ventre

Essa noção interior/exterior é utilizada artisticamente pelas dançarinas do ventre para encantar o público por meio de movimentos que as fazem entrar e sair do véu, suave e repentinamente, deixando perplexos os espectadores, que, dada a velocidade com que é executado o movimento, não compreendem o que de fato ocorre.

O segredo do movimento das mãos está a seguir. Experimente fazê-lo!

Figura 4

Figura 5

Você já parou para pensar como os computadores são capazes de realizar todas as suas tarefas? Dado que eles operam com base em princípios lógico-matemáticos, a primeira providência é encontrar um sistema de numeração que lhes permita trabalhar.

Aprendemos desde os primeiros anos escolares que o nosso sistema de numeração é o decimal. Como os seres humanos nasceram com dez dedos nas mãos, desde cedo aprenderam a contar em grupos de dez. Assim, dez unidades formam uma dezena, dez dezenas formam uma centena, dez centenas são um milhar, e assim por diante. Em outras palavras, multiplicamos por dez cada posição para gerar a próxima casa à esquerda:

Figura 1

Já os computadores utilizam o Sistema de Numeração Binário. Como bi significa dois, devemos esperar que os agrupamentos agora sejam de dois em dois, isto é, multiplicamos por 2:

Figura 2

Como escrever um número nesse sistema? Pense que cada coluna representa uma gaveta que contém R$ 1,00 – R$ 2,00 – R$ 4,00 – R$ 8,00 – R$ 16,00, e assim por diante. Digamos que se queira escrever o número 13 em binário. Devemos então obter R$ 13,00 e para isso teremos que abrir as gavetas certas que deem esse total.

As gavetas 64, 32 e 16 devem permanecer fechadas, pois ultrapassam esse valor de R$ 13,00. Abrimos, então, as gavetas com R$ 8,00, R$ 4,00, mas não usamos a gaveta com R$ 2,00, pois teríamos R$ 14,00 (8 + 4 + 2). Finalmente abrimos a gaveta de R$ 1,00.

8 + 4 + 1 = 13

Figura 3

Em vez de assinalarmos as gavetas marcadas por x, nós as indicaremos por 1, e as gavetas não utilizadas, por 0. Assim, 13 em binário escreve-se 1101. Fácil, não é mesmo?

Vejamos se você entendeu bem, escrevendo 22 em binário. As gavetas acima de 16 devem permanecer fechadas, pois ultrapassam o total desejado. Abrimos, então, as gavetas 16, 4 e 2, pois 16 + 4 + 2 = 22.

16 + 4 + 2 = 22

Figura 4

Por que os computadores utilizam o sistema binário? Sendo eles máquinas elétricas, o 0 corresponde a desligado e o 1, a ligado. As chaves que fazem esse papel de ligar e desligar são chamadas de transistores, os quais estão presentes dentro dos chips.

Resta dizer que o primeiro matemático a se dedicar aos números binários foi o alemão Leibniz (1646-1716), mas já se tinham descoberto características binárias no alfabeto dos celtas, o Ogam, utilizado nos primeiros séculos da Era Cristã na Escócia, na Irlanda e no País de Gales. As operações binárias não eram 0 e 1, mas traços oblíquo e vertical e alto e baixo.

Qual será a altura de uma criança quando chegar a ser adulta? Será que estou acima de meu peso ideal?

Para responder a essas e a outras perguntas semelhantes, a Matemática pode ser utilizada como um auxílio importante, uma vez que tem condições de fornecer números e fórmulas que permitem ao médico, ao nutricionista e a outros profissionais avaliar a condição de saúde das pessoas.

Minha mãe, por exemplo, media a altura de cada filho quando completávamos dois anos de idade, e multiplicava esse resultado por dois. O valor encontrado correspondia à altura que teríamos quando fôssemos adultos.

Por exemplo, suponhamos que uma criança meça, aos dois anos de vida, 87 cm. Então fazemos 87 x 2 = 174 cm, ou seja, ela terá aproximadamente 1,74 m de altura quando adulta. Na época da escravidão, os donos de escravos utilizavam esse processo para estimar a altura (e o porte físico) do escravo quando ele chegasse à idade adulta. Se a previsão fosse de boa estatura, o escravo seria negociado a um preço mais alto. E, por falar em altura, você sabia que o esqueleto pode ser classificado em pequeno, médio ou grande? Essa classificação obedece a uma tabela. Para saber em qual das categorias se encaixa o esqueleto de alguém, siga os passos:

Figura 1

1. meça a altura da pessoa em centímetros;

2. meça a circunferência de seu pulso em centímetros;

3. divida a altura pela circunferência do pulso;

4. finalmente, consulte a tabela abaixo:

Um outro cálculo – este bastante conhecido por aparecer em revistas que tratam de saúde e boa forma física – é o IMC (Índice de Massa Corporal). Ele serve para indicar se a pessoa está dentro do seu peso ideal. Acompanhe os cálculos:

1. meça a altura em metros e multiplique pelo próprio número, isto é, faça altura x altura ;

2. divida o peso da pessoa pelo resultado encontrado no passo 1;

3. consulte a tabela abaixo que fornece, para cada grupo de idade, o valor considerado normal.

Há inúmeras fórmulas matemáticas para determinar outras características do corpo humano. Se você conhece alguma, mande para nós.

Usando papelão, mangueira, pedaços de madeira e régua, você poderá construir dois instru-mentos que o ajudarão a fazer pequenos mapas de locais como o quintal de sua casa.

O primeiro deles é um medidor de distâncias. Antes de fazê-lo, realize esta experiência: tome a tampa de uma lata e, com um barbante, contorne-a, marcando com uma caneta o ponto onde o barbante dá uma volta completa. Estique o barbante sobre uma régua e meça o comprimento. Use agora a régua para obter o diâmetro AB da tampa.

Figura 1

Divida o comprimento pelo diâmetro e encontrará o valor aproximado, 3,14, que é um número chamado pi.

É claro que, se dividirmos o comprimento por pi, encontraremos o diâmetro. Assim, se desejamos construir um círculo cujo comprimento seja 1 m = 100 cm (e para isso precisamos saber o diâmetro correto), basta fazermos um círculo de papelão com diâmetro 31,8 cm e o fixarmos em um pedaço de madeira para que a cada volta tenhamos 1 m.

Um segundo instrumento é o medidor de nível, que servirá para sabermos se um ponto do terreno está acima ou abaixo de um ponto de referência. Para isso, usaremos o Princípio dos Vasos Comunicantes: se dois recipientes forem ligados por um tubo e os enchermos com água, o nível da água nos dois recipientes será o mesmo.

Em nossa montagem, conhecida por nível de mangueira, substituímos os recipientes unidos pelo tubo por uma mangueira em cujas extremidades prendemos pedaços de madeira com marcações em centímetros, os quais funcionarão como réguas (Figura 2). Para conhecermos a diferença de nível, tomemos os pontos P e Q. Se o nível da água acima de P for de 17 cm e, por sua vez, de 12 cm acima de Q, isso significa que a altura x será 5 cm (17 – 12), ou seja, o ponto Q está 5 cm acima.

Figura 2

Com esses instrumentos, você poderá fazer seus mapas marcando a distância e o