Modelagem Matemática de Processos Diversos
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Sobre este e-book
Neste livro serão discutidos diferentes processos da vida diária relacionados com a Biologia, Medicina, Física, Química e Engenharia. Em geral os modelos pautados na Biologia, Medicina, Física e Química são apresentados por meio de equações e sistemas de equações diferenciais ordinárias, tantos autônomos como não autônomos. Já na área de Engenharia os modelos são constituídos, além de equações diferencias ordinárias, de diversos conceitos matemáticos, que fazem uso desde trigonometria a métodos de otimização.
Nas abordagens sobre doenças, serão mencionadas tais situações no Brasil em cada um dos casos tratados, indicando as regiões de maior incidência, já em relação a problemas da Engenharia serão vistos casos pertinentes ao trânsito do Brasil, em duas cidades, sendo uma no Sul e outra no Norte do País.
Serão vistos também dois problemas gerais, um em relação à planificação de peças cilíndricas e outro em relação à simulação para o átomo de hidrogênio.
Aqui os autores procuram esclarecer da forma mais eficiente possível os processos estudados. Os sistemas serão simplificados, fazendo uso de Teoria Analítica de Equações Diferenciais e Modelagem Matemática, além de outros conceitos matemáticos.
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Modelagem Matemática de Processos Diversos - Antonio Iván Ruiz Chaveco
Editora Appris Ltda.
1ª Edição - Copyright© 2018 dos autores
Direitos de Edição Reservados à Editora Appris Ltda.
Nenhuma parte desta obra poderá ser utilizada indevidamente, sem estar de acordo com a Lei nº 9.610/98.
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Foi feito o Depósito Legal na Fundação Biblioteca Nacional, de acordo com as Leis nºs 10.994, de 14/12/2004 e 12.192, de 14/01/2010.
COMITÊ CIENTÍFICO DA COLEÇÃO ENSINO DE CIÊNCIAS
PREFÁCIO
Desde os anos 1990, um grupo de pesquisadores do Centro de Biofísica Médica de Santiago de Cuba e do Departamento de Matemática da Universidade de Oriente, também de Santiago de Cuba, iniciaram o desenvolvimento da linha de pesquisa relacionada à Modelagem Matemática de processos médicos biológicos, estudando inicialmente a formação de polímeros no sangue, tratando os modelos autônomo e não autônomo.
Os primeiros trabalhos faram publicados pelos pesquisadores Carlos Cabal Mirabal e Antonio Iván Ruiz Chaveco, em 2008. Posteriormente foram incorporados outros pesquisadores, que em função dos resultados encontrados, chegaram a concluir os seus trabalhos doutorais. O mais recente foi o de Sandy Sánchez Domínguez, em 2011, que tratou o problema não autônomo na modelagem, com a orientação de Adolfo Fernández Garcías e Antonio Iván. Com esses resultados, foi publicado o livro Mathematical Modeling of the Pelemirization of Hemoglobin S, de 2015, pela Editora Lap Lambert, na Alemanha. Esse grupo de pesquisadores aumentou e no momento não se limita somente aos da região de Cuba, mas também integram o grupo colaboradores da Universidade do Estado do Amazonas e da Universidade Federal do Amazonas. Da mesma forma, foi ampliado o espectro das pesquisas, pois no momento são tratados processos diversos, dos quais alguns serão deles nesta obra, em particular do pesquisador Marcelo Lacortt, com relação aos problemas do trânsito em cidades de médio e grande porte, em que fez uso de um software que dá soluções aproximadas ao problema simulado.
Este livro não se limita à pesquisa de simulações ótimas para cada um dos processos tratados, mas também faz um estudo analítico para simplificar esses sistemas de equações diferenciais que os modelam, para tanto, aplica a Teoria Qualitativa das Equações Diferenciais para fazer prognósticos do comportamento futuro do fenômeno tratado.
Em diferentes artigos, versando sobre determinadas doenças, analisam-se as características destas, formas de apresentação, assim como a incidência no Brasil e as causas. Tais informações propiciam conhecimento ao leitor sobre os possíveis meios contágios das enfermidades abordadas, seus sintomas e tratamentos. Os dados estatísticos aqui apresentados são tomados, quase em sua totalidade, de trabalhos referenciados na bibliografia indicada, bem como, em sua maioria, também constam na internet.
O conjunto de resultados é inédito, não somente na área da modelagem, mas também na própria Teoria das Equações Diferenciais no que tange ao estudo dos casos críticos combinados, entre outros, resultando na forma normal combinada e forma quase normal combinada que permitem extrair conclusões do comportamento futuro do processo.
Em geral, para o estudo dos sistemas que simulam os processos estudados são utilizadas a Teoria Analítica de Equações Diferenciais e a Teoria Qualitativa de Equações Diferenciais, mas, em determinados casos, é feito uso de outras técnicas não menos importantes e que também permitem chegar a conclusões com relação ao fenômeno real tratado.
Nos três últimos capítulos, são usados sistemas não autônomos, e, em particular, periódicos com relação ao tempo para fazer a simulação do processo da formação de polímeros e domínio no sangue. Baseamo-nos no princípio de que no caso dessa doença, as crises em geral aparecem de forma periódica, o que garante maior aproximação das soluções. Dessa forma chegamos a resultados importantes, não apenas do ponto de vista da modelagem, mas muito também das próprias Equações Diferenciais.
Esperamos que este livro seja útil não somente para os profissionais da Matemática e Ciências afins, mas também para a aqueles que fazem trabalhos sociais de instrução à população com relação a diferentes doenças, seus sintomas e tratamentos, para assim evitar complicações futuras por falta de medidas profiláticas.
Prof. Dr. Luiz Henrique Ferraz Pereira
Universidade de Passo Fundo (UPF)
abril de 2017
SUMÁRIO
capítulo 1
MODELO DOS PROCESSOS AGREGADOS MOLECULARES DA HEMOGLOBINA
SEM AUSÊNCIA DA CRISTALIZAÇÃO
1.1 Introdução
1.2 Método
1.3 Resultados e discussão
1.3.1 Velocidade de polimerização
1.4 Considerações finais
1.5 Referências
capítulo 2
PLANIFICAÇÃO DE PEÇAS OBTIDAS PELA INTERSEÇÃO DE SUPERFÍCIES CILÍNDRICAS
2.1 Introdução
2.2 Referencial teórico
2.3 Modelagem matemática do processo de planificação de peças obtidas a partir da interseção entre dois cilindros
2.3.1 Planificação de cilindros perpendiculares entre si
2.3.2 Planificação de Cilindros oblíquos entre si
2.4 Resultados computacionais
2.5 Considerações finais
2.6 Referências
capítulo 3
MODELO MATEMÁTICO PARA ESTIMATIVA DA FROTA VEICULAR DO
MUNICÍPIO DE TABATINGA-AM
3.1 Introdução
3.2 Referencial teórico
3.3 Modelagem matemática
3.4 Crescimento populacional
3.5 Excel
3.6 Metodologia
3.7 Resultados e discussões
3.8 O modelo
3.9 Análise gráfica dos resultados
3.10 Considerações finais
3.11 Referências
CAPÍTULO 4
MODELOS MATEMÁTICOS PARA OTIMIZAÇÃO DO TRÁFEGO URBANO SEMAFORIZADO
4.1 Introdução
4.2 Engenharia de tráfego
4.3 Modelos para otimização do tráfego urbano semaforizado
4.3.1 Modelo 1
4.3.2 Modelo 2
4.3.3 Implementação computacional dos modelos
4.4 Estudo da região central de passo fundo
4.4.1 Descrição do problema
4.4.2 Resultados numéricos
4.5 Considerações finais
4.6 Referências
cAPÍTULO 5
MECANISMO DO PROCESSO DE CRISTALIZAÇÃO DA HEMOGLOBINAS
5.1 Introdução
5.2 Método
5.2.1. Início da cristalização
5.2.2 Cristalização avançada
5.3 Resultados e discussão
5.3.1. Início da cristalização
5.3.2 Grande cristalização avançada
5.3.3 Cristalização nos estágios intermédios intermediários
5.4 Considerações finais
5.5 Referências
CAPÍTULO 6
MODELAGEM MATEMÁTICA DO DESENVOLVIMENTO DE EPIDEMIAS
6.1 Introdução
6.2 Considerações finais
6.3 Referências
CAPÍTULO 7
MODELO DA DINÂMICA INSULINA-GLICOSE
7.1 Introdução
7.2 Desenvolvimento
7.3 Formulação do modelo
7.4 Caso linear
7.5 Modelo correspondente ao diabético
7.6 Referências
CAPÍTULO 8
MODELOS DE DOENÇAS SEXUALMENTE TRANSMISSÍVEIS
8.1 Determinante da matriz da parte linear positivo
8.2 Determinante da matriz da parte linear negativo
8.3 Determinante da matriz da parte linear nulo
8.4 Considerações finais
8.5 Referências
CAPÍTULO 9
FORMA QUASE NORMAL COMBINADA PARA A SOLUÇÃO DE UM MODELO
DE ANEMIA
9.1 Introdução
9.2 Desenvolvimento
9.3 Considerações finais
9.4 Referências
CAPÍTULO 10
MODELO PRESA-PREDADOR NO MARCO ECOLÓGICO
10.1 Introdução
10.2 Modelo lotka-volterra
10.3 Formulação do modelo
10.4 Análise qualitativa
10.5 Forma normal
10.6 Caso de competição pelas presas
10.7 Modelo de três espécies
10.8 Considerações finais
10.9 Referências
CAPÍTULO 11
MODELO DA POLIMERIZAÇÃO DA HEMOGLOBINAS
11.1 Introdução
11.2 Desenvolvimento
11.3 Caso em que aparece um valor próprio nulo
11.4 Caso de um par de valores próprios imaginários puros
11.5 Caso crítico combinado
11.6 Referências
CAPÍTULO 12
DINÂMICA DE UMA DROGA NUM ORGANISMO HUMANO
12.1 Introdução
12.2 Formulação do modelo
12.3 Forma quase normal combinada
12.4 Considerações finais
12.5 Referências
CAPÍTULO 13
MODELAÇÃO MATEMÁTICA DA ELIMINAÇÃO DE POLUIÇÃO
13.1 Introdução
13.2 Caso em que aparece um valor próprio nulo
13.3 Caso de um par de valores próprios imaginários puros
13.4 Caso crítico combinado
13.5 Referências
CAPÍTULO 14
SIMULAÇÃO PARA O ÁTOMO DE HIDRÔGENIO POR MEIO DE EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER
14.1 Introdução
14.2 Equação de Schrödinger
14.3 Aplicação da equação de schrödinger no átomo de hidrogênio
14.4 Considerações finais
14.5 Referências
CAPÍTULO 15
MODELO DA SICKLEMIA COM COEFICIENTES PERIÓDICOS NA FUNÇÃO DE POLIMERIZAÇÃO
15.1 Introdução
15.2 Desenvolvimento
15.3 Caso em que aparece um par de valores próprios imaginários puros
15.4 Caso em que aparece um valor próprio nulo
15.5 Considerações finais
15.6 Referências
CAPÍTULO 16
MODELO DE SIKLEMIA COM COEFICIENTES PERIÓDICOS PARA UM CASO CRÍTICO COMBINADO
16.1 Introdução
16.2 Desenvolvimento
16.3 Referências
capítulo 17
MODELO DE SICKLEMIA NÃO AUTÔNOMO COM COEFICIENTE PERIÓDICO
EM GERAL
17.1 Introdução
17.2 Desenvolvimento
17.3 Referências
SOBRE OS AUTORES
capítulo 1
MODELO DOS PROCESSOS AGREGADOS MOLECULARES DA HEMOGLOBINA SEM AUSÊNCIA DA CRISTALIZAÇÃO
Carlos Cabal-Mirabal
Ana Maria Libório
Iván Ruiz Chaveco
1.1 Introdução
A anemia falciforme continua a ser um problema de saúde em todo o mundo, ver (BENESCH, R. E.; BENESCH, R.; EDALJI, R.; KWONG, S, 1978). Essa doença genética ocorre em razão de uma alteração na cadeia de aminoácidos da hemoglobina, que leva à polimerização da hemoglobina S (HbS) em condições de baixa oxigenação, à deformação dos glóbulos vermelhos, alterações na permeabilidade e elasticidade da membrana, modificações na reologia do sangue e vários outros processos fisiológicos, produzindo assim as crises vaso-oclusivas que causam uma deterioração intensa e progressiva dos pacientes, resultando em morte, geralmente em idades precoces (BENESCH, R. E.; BENESCH, R.; EDALJI, R.; KWONG, S, 1978).
Vários fatores determinam a polimerização de HbS desoxigenada. Alguns deles são: grau de oxigenação HbS (BRIEEHL, R. W. 1978); (BRITTENHAM, G. M.; SCHECHTER, A. N.; NOGUCHI, C. T. 1985); (CHANG, H.; NAGEL, R. L. 1978), concentração de HbS [HbS], temperatura (EATON, W. A.; HOFRICHTHER, J. 1990); (HAN, J.; J. HERZFELD. 1998), pH da solução (BRIEEHL, R. W. 1978) e a presença de outras hemoglobinas (CHEETHAM, R. C.; HUEHNS, E. R.; ROSEMEYER, M. A. (1979). O principal fator que determina a polimerização de HbS é a pressão parcial de oxigênio p, pois a razão oxigenada HbS / desoxigenada HbS (oxyHbS / deoxyHbS) depende dela. O aumento da temperatura favorece a formação de agregados de deoxiHbS, assim como um aumento de [HbS]. No entanto, para que esse fenômeno ocorra, é necessária uma concentração de desoxiHbS [desoxiHbS] maior do que um valor mínimo (α) (BRIEEHL, R. W. 1978); (BRITTENHAM, G. M.; SCHECHTER, A. N.; NOGUCHI, C. T. 1985).
Um fato experimental interessante é que, mesmo em uma p baixa, uma fração de desoxiHbS não está em estado agregado molecular e diminui com o aumento de p (BRIEEHL, R. W. 1978); (BRITTENHAM, G. M.; SCHECHTER, A. N.; NOGUCHI, C. T. 1985). A formação de agregados moleculares de HbS é um fenômeno reversível, uma vez que os agregados de deoxyHbS dissolvem-se sob oxigenação ou com uma diminuição da temperatura (BENESCH, R. E.; BENESCH, R.; EDALJI, R.; KWONG, S, 1978); ( CHEETHAM, R. C.; HUEHNS, E. R.; ROSEMEYER, M. A. 1979).
O efeito inibidor da mistura de HbS com outros tipos de Hemoglobina (HbA, HbF, HbA2) na polimerização é bem conhecido (BRIEEHL, R. W. 1978); (DEAN, J.; SCHECHTER, A. N. 1978)
O aumento da HbA e HbF na hemoglobina total de pacientes com anemia falciforme também tem sido associado a uma diminuição da gravidade clínica (BENESCH, R. E.; BENESCH, R.; EDALJI, R.; KWONG, S, 1978); (BRIEEHL, R. W. 1978); (BRITTENHAM, G. M.; SCHECHTER, A. N.; NOGUCHI, C. T. 1985); (EATON, W. A.; HOFRICHTHER, J. 1990); (HAN, J.; J. HERZFELD. 1998); (NOGUCHI, C. T.; SCHECHTER, A. N. 1981); (SERJEANT, G. R. 1994); (SCHECHTER, A. N.; RODGERS E G.P. 1995); (SUNSHINE, H. R.; HOFRICHTER, J.; EATON, W. A. 1978.
Os polímeros de HbS têm sido estudados usando diferentes técnicas, tais como a difração de raios X e a Microscopia Eletrônica (EM) (BRIEEHL, R. W. 1978). A estrutura dos agregados moleculares de HbS foi determinada por EM (BRIEEHL, R. W. (1978), mostrando a estrutura de fibras (microtúbulos, μT) formadas por 14-16 moléculas de hemoglobina. A formação de domínios também foi observada dentro de eritrócitos em estado avançado de gelificação. A cinética da formação de microtúbulos e domínios não foi explicada em detalhes (BRIEEHL, R. W. 1978); (BRITTENHAM, G. M.; SCHECHTER, A. N.; NOGUCHI, C. T. 1985); (CHEETHAM, R. C.; HUEHNS, E. R.; ROSEMEYER, M. A. 1979) (HAN, J.; J. HERZFELD. 1998); (NOGUCHI, C. T.; SCHECHTER, A. N. 1981); (SERJEANT, G. R. 1994); (SCHECHTER, A. N.; RODGERS E G.P. 1995); (SUNSHINE, H. R.; HOFRICHTER, J.; EATON, W. A. 1978 .
Os mecanismos moleculares de polimerização e despolimerização desempenham papel importante na interpretação da fisiopatologia da doença e na seleção de estratégias terapêuticas a serem seguidas (BENESCH, R. E.; BENESCH, R.; EDALJI, R.; KWONG, S, 1978); (BRIEEHL, R. W. 1978); (BRITTENHAM, G. M.; SCHECHTER, A. N.; NOGUCHI, C. T. 1985). Diferentes mecanismos e modelos têm sido propostos (BRIEEHL, R. W. 1978); (BRITTENHAM, G. M.; SCHECHTER, A. N.; NOGUCHI, C. T. 1985), que permitem a interpretação de inúmeros fenômenos.
Neste capítulo, um mecanismo e modelo de polimerização é apresentado assumindo que unidades estruturais defeituosas são formadas. Os dados estruturais relacionados com o número diferente de cordões que formam as fibras de HbS podem ser explicados. O referido modelo também descreve a influência de [HbS] e p sobre o processo de polimerização e o papel de outras hemoglobinas, incluindo a própria HbS, sempre que sua estrutura tridimensional ou pontos de contato são modificados.
1.2 Método
Supondo que a HbS pode aparecer em glóbulos vermelhos nos seguintes estados :
• HbS Oxigenado em a) Monómeros M; b) Unidades estruturais de microtúbulos defeituosos μTuΔ
• HbS Desoxigenada em a) Monómeros M, b) Unidades estruturais de microtúbulos μTu, c) Microtúbulos μT, d) Domínios D.
Considerando a hipótese de que μTu (formada inteiramente por moléculas de deoxyHbS), coexistem com μTu (formado por desoxi e oxyHbS) incapazes de formar novos túbulos, propomos o seguinte mecanismo:
Os processos (II) - (IIIa) constituem o mecanismo de polimerização, que inclui a formação de μTuΔ. Nα = n + nγ = n (1 + γ) onde α: mínimo [deoxyHbS] necessário para a polimerização ocorrer; N: número de moléculas de HbS que formam o μTu. Como α pode variar de 1 a aproximadamente 2, é geralmente tomado como tal no modelo, isto é, α = 2 + δ, em que / δ / <1. Isso nos permite explicar os dados experimentais relacionados a diferentes números de moléculas formando o μT.
O mecanismo de cristalização é descrito por (IV). Supõe-se que a mudança HbS de estado μT para D, só ocorre quando o [desoxiHbS] em μT ultrapassa um limiar β1. Uma vez que os domínios pequenos deoxyHbS existem, eles podem crescer quer pela adição de monômeros deoxyHbS isolados ou por adição de μTu. O D deve ser desintegrado quando o [deoxyHbS] em μT é menor que β1 e o [desoxiHbS] em domínios diminui abaixo de seu valor limiar β2. As reações I - IV estão de acordo com o modelo de dupla nucleação descrito (processos Homogêneos e Heterogêneos).
1.3 Resultados e discussão
Propomos o seguinte modelo matemático: assumindo que os processos rápidos (I) e (III) são instantâneos em relação ao resto, então a lei de conservação de massa é declarada por:
(1)
Onde x: [OxyHbS] dependendo do p dentro dos eritrócitos; N: total [HbS]. Por sua vez, o sistema de equações que descreve o processo cinético é:
(2)
(4)
Onde ai (i = 1 ... 2n), b, c, d, e e f, são os coeficientes de reação. aié uma função de polimerização.
Neste capítulo são discutidas as propriedades fundamentais da solução do sistema de equações (2) – (4) e é dada uma interpretação fenomenológica dessas propriedades. O sistema de equações diferenciais ordinárias não lineares (1) – (4) não foi resolvido em razão de sua complexidade, no entanto vários casos específicos são interessantes e simples o suficiente para serem estudados
separadamente. A análise centra-se na Polimerização da HbS na ausência de cristalização.
.
Temos
(5)
(6)
(7)
A solução do sistema (6), (7) é expressa conforme segue:
(8)
Temos aqui uma família de linhas retas com -1 / n de inclinação. Se substituirmos (8) em (5), obtemos w (p)